Compendio di Astronomical Spectroscopy

Capitoli

Compendio di Astronomical Spectroscopy

Questo e' un compendio del corso, scritto da uno studente che l' ha appena fatto, per gli studenti
che lo stanno facendo.

Non e' un riassunto della dispensa e non la sostituisce. E' il percorso logico: come si arriva a
una formula, e perche' quella formula ha quella faccia li'.

Cosa ci trovi e cosa NON ci trovi

Non ci trovi le derivazioni. Non c'e' un solo conto svolto. Se ti serve il passaggio
matematico sta nella dispensa, e li' e' fatto bene.

Ci trovi gli step logici, cioe':

  1. che problema stiamo cercando di risolvere
  2. che cosa ci serve sapere per risolverlo
  3. che assunzioni facciamo, e perche' possiamo farle
  4. che formula ne esce
  5. cosa vuol dire ogni pezzo della formula
  6. cosa succede se un pezzo diventa grande o piccolo (i casi limite: e' li' che si capisce)

Nota subito così de botto: il punto 6 e' quello che conta davvero. Una formula che sai
scrivere ma non sai leggere nei suoi casi limite e' una formula che non hai capito. Leggerla vuol
dire: se questo termine cresce cosa succede? se questo va a zero cosa resta?

I due modi in cui sono scritti i capitoli

Non sono scritti tutti uguali, e non e' un caso. Ci sono due metodi, e ogni volta che ne uso uno lo
dico all' inizio del capitolo, cosi' sai cosa aspettarti.

Il PODS. Serve quando c'e' un ragionamento da difendere, cioe' quando la cosa da capire non e'
una formula ma il perche' quella formula esiste. Funziona cosi':

Premise $\quad$ quello che osservo, il dato di partenza

Objection $\quad$ l' obiezione che rompe la premessa: se fosse cosi' semplice, vedrei
un' altra cosa

Deduction $\quad$ cosa ne deduco, visto che l' obiezione regge

Specification $\quad$ lo strumento preciso che mi serve per andare avanti

Il pezzo che conta e' l' Objection: e' li' che si capisce se hai capito. Se sai dire da solo
perche' la spiegazione ovvia non funziona, la formula dopo te la ricavi quasi da solo.

I mattoncini. Servono quando la cosa e' difficile e va posata piano: un concetto per volta,
ognuno appoggiato al precedente, e non si va avanti finche' quello prima non e' fermo. Li uso nei
punti dove io mi ero incartato: la funzione sorgente, il fotone di cattura, il gradino di Balmer.

Quando vedi una sezione fatta di pezzetti corti separati da una linea, sono quelli.

Come si studia con questo

Leggi un capitolo, poi chiudilo e prova a rispondere a questa domanda:

se mi metti davanti una nebulosa (o una stella) con queste caratteristiche, cosa vedo e perche'?

Se ci riesci, vai avanti. Se non ci riesci, non e' che ti manca la formula: ti manca il motivo per
cui c'e'.

Alla fine di ogni capitolo ci sono delle domande tattiche. Non sono domande da ripasso a
memoria: sono domande che si rispondono solo ragionando, e ognuna ti dice a quale sezione tornare
se ti blocchi. Non guardare la sezione prima di averci provato, se no non servono a niente.

Indice

I numeri sono quelli della dispensa, non una numerazione mia: se qui leggi "5.7", nelle note
e' il paragrafo 5.7. Cosi' non devi mai stare a tradurre fra i due.

Le prime tre pagine non hanno numero perche' non corrispondono a niente della dispensa: sono roba
di servizio.

capitolo
Di cosa parla tutto il corso
Numeri e conversioni da avere in tasca
2 Popolazioni: Boltzmann, Saha e perche' Balmer ha un massimo
3 Trasporto radiativo
4 Righe in assorbimento: EW e allargamenti
5.1-5.4 Atomo a due livelli, densita' critica, quenching
5.5 Righe di ricombinazione otticamente sottili
5.6 Estinzione da polvere
5.7 Righe proibite
6 I continui
7 Sezione d' urto ed equilibrio di ionizzazione
8 La sfera di Stromgren
9 Equilibrio termico: chi scalda e chi raffredda

Ogni capitolo sta in piedi da solo: se ti serve solo Stromgren, vai all' 8 e leggi quello.

Per leggerlo altrove

Se ti serve averlo sul telefono o offline, compendio.html e' tutto quanto in
un file solo, immagini comprese: lo scarichi e si apre ovunque, anche senza rete.

Da dove viene questa roba

Dalla dispensa del corso (notes_28Jul2021.pdf) e dagli appunti che mi sono fatto studiando. Le
formule le ho ricontrollate contro la dispensa, ma le sviste sono possibili: se trovi qualcosa
che non torna, fidati della dispensa e correggi qui.

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Di cosa parla tutto il corso

Questo capitolo e' scritto in PODS: si parte da quello che si osservava, si mette
l' obiezione che ha bloccato tutti per decenni, e si vede cosa se ne e' dedotto. E' anche la
storia vera di come e' andata.

Prima di aprire la dispensa serve sapere a che domanda risponde questo corso. E il modo
piu' onesto per dirlo e' raccontare come ci sono arrivati, perche' i due problemi che hanno tenuto
in scacco gli astronomi per mezzo secolo sono esattamente i due pilastri del programma.

1. Da dove nasce la faccenda

Premise: Newton, nel 1666, fa passare la luce del Sole attraverso un prisma e la vede
scomporsi nei colori. Fin qui e' un bell' esperimento e basta: quello che esce e' una striscia
continua, non c'e' nessuna informazione dentro.

Nel 1802 Wollaston guarda meglio e nota che quella striscia non e' continua: ci sono delle
righe scure. Le prende per confini fra i colori e non ci fa troppo caso.

Nel 1814 Fraunhofer costruisce strumenti molto migliori e ne conta centinaia. Le cataloga con
le lettere (la piu' famosa e' la D, nel giallo), ne misura le posizioni, e soprattutto fa una cosa
che nessuno aveva fatto: punta lo strumento su altre stelle. E scopre che anche loro hanno le
righe, ma non le stesse.

Objection: Bellissimo, ma a cosa serve? Nel 1835 il filosofo Auguste Comte scrive che la
composizione chimica delle stelle e' l' esempio perfetto di una cosa che l' uomo non potra' mai
sapere, perche' li' non ci andremo mai.

2. La svolta: le righe sono firme

Deduction: Comte ci prende male, e ci mette poco a essere smentito.

Nel 1859 Kirchhoff e Bunsen mettono in fila una cosa che cambia tutto. Scaldando un elemento in
laboratorio, quello emette righe in posizioni sue, sempre le stesse. E le righe scure del Sole
cadono esattamente dove cadono le righe di emissione degli elementi terrestri: la riga D del
Sole sta dove sta il sodio.

Quindi ogni elemento lascia una firma sempre uguale, e non si puo' confondere con quella di
un altro. Le righe scure del Sole diventano un modo per leggere di cosa e' fatto.

Specification: Ne escono tre regole, che sono il minimo sindacale per andare avanti:

  1. un corpo denso e caldo fa un continuo (nessuna riga)
  2. un gas rarefatto e caldo fa righe in emissione
  3. un gas piu' freddo davanti a un continuo fa righe in assorbimento, nelle stesse posizioni in
    cui, da solo, le farebbe in emissione

Qui si nota una cosa: in ventiquattro anni si e' passati da "non lo sapremo mai" a "so di
cosa e' fatto il Sole". E l' unico strumento nuovo era un prisma messo davanti a un telescopio. Da
qui in poi il gioco del corso e' sempre lo stesso: guardare dove cadono le righe e quanto sono
forti, e da li' risalire alle condizioni fisiche del gas.

3. Primo problema: perché le stelle non si somigliano

Con le firme in mano, si comincia a classificare. Secchi prima, poi il gruppo di Harvard - Pickering
e le donne che lavoravano con lui, in particolare Annie Jump Cannon - mettono in fila decine di
migliaia di spettri.

Ne esce la sequenza che si usa ancora oggi: O B A F G K M, che e' un ordinamento per
temperatura.

Premise: Guardando le righe dell' idrogeno lungo questa sequenza (la serie di Balmer, quella
che cade nel visibile), si vede una cosa strana: sono deboli nelle O, crescono, diventano
fortissime nelle A0, e poi calano di nuovo fino a sparire nelle M.

Objection: Ma l' idrogeno e' l' elemento piu' abbondante dappertutto, e la composizione
chimica di queste stelle e' piu' o meno la stessa. Se le righe misurassero quanto idrogeno c'e',
dovrebbero essere uguali in tutte.

Deduction: Quindi la forza della riga non misura quanto idrogeno c'e': misura quanti atomi
di idrogeno stanno nella condizione giusta per fare quella transizione.

E per fare Balmer un atomo deve essere due cose insieme: neutro (se e' ionizzato non ha piu'
l' elettrone) ed eccitato su $n=2$. Due condizioni che tirano in direzioni opposte quando la
temperatura sale.

Specification: Servono due strumenti, e arrivano fra il 1900 e il 1920: Boltzmann per
sapere come si distribuiscono gli elettroni fra i livelli, e Saha (1920) per sapere quanti
atomi sono ancora neutri.

Chi chiude la partita e' Cecilia Payne, nel 1925: applica Saha agli spettri stellari e ne tira
fuori che le stelle sono fatte quasi tutte di idrogeno ed elio. Le righe forti del ferro nel
Sole non volevano dire tanto ferro, volevano dire ferro in condizione buona per assorbire.

Questo problema, e i due strumenti che lo risolvono, sono i capitoli 2, 3 e 4 del corso.

4. Secondo problema: il nebulio

Premise: Nel 1864 Huggins punta lo spettroscopio su una nebulosa, aspettandosi lo spettro
di un ammasso di stelle non risolte, cioe' un continuo con le sue righe scure.

Vede tutt' altro: niente continuo, e poche righe luminose. Fra queste, una riga verde molto
forte che non corrisponde a nessun elemento conosciuto in laboratorio.

Objection: Ma le firme sono firme: se quella riga non la fa nessun elemento terrestre, allora
li' fuori c'e' un elemento che sulla Terra non esiste.

Lo chiamano nebulio. Regge per sessant' anni.

Deduction: Nel 1927 Bowen fa saltare il banco, e la spiegazione e' molto piu' bella
dell' elemento nuovo. Quella riga a 5007 A e' ossigeno, ionizzato due volte, roba
normalissima. Solo che nasce da una transizione proibita: talmente improbabile che l' atomo ci
mette secondi a farla, invece dei $10^{-8}$ secondi delle transizioni normali.

In laboratorio non la vedi mai, perche' anche nel miglior vuoto che sai fare l' atomo viene urtato
e spento molto prima di riuscire a emettere. In una nebulosa no: li' il gas e' cosi' rarefatto che
l' atomo puo' aspettare tranquillo.

Specification: Quindi il nebulio non era un elemento: era una condizione fisica mai vista
prima. E la condizione e' la densita' bassissima.

Nota: questa e' la chiave di lettura di tutta la seconda meta' del corso.
Fotosfera stellare e nebulosa hanno la stessa temperatura, circa $10^4$ K. Quello che le separa
sono dieci ordini di grandezza di densita'. Ogni volta che nel corso succede qualcosa di
apparentemente assurdo, la risposta e' quasi sempre "perche' li' il gas e' rarefatto".

Questo problema, e tutto quello che ne discende, sono i capitoli dal 5 al 9.

5. Le due metà del corso, messe in tabella

fotosfera stellare nebulosa
temperatura ~$10^4$ K ~$10^4$ K
densita' elettronica ~$10^{14}$ cm$^{-3}$ $10^2 - 10^4$ cm$^{-3}$
collisioni continue rarissime
chi comanda le popolazioni Boltzmann e Saha (siamo in LTE) il bilancio fatto a mano (non siamo in LTE)
cosa vedi righe in assorbimento righe in emissione
capitoli 2, 3, 4 5, 6, 7, 8, 9

Le due colonne sono identiche in temperatura e diversissime in densita'. Tenere presente questa
tabella vale piu' di meta' del corso.

6. Cosa si impara a fare, alla fine

Vale la pena dire dove si va a parare, se no i capitoli in mezzo sembrano scollegati. Alla fine del
corso, guardando lo spettro di un gas che non vedrai mai da vicino, sai tirare fuori:

cosa misuri come capitolo
di che elementi e' fatto dove cadono le righe tutto
la temperatura della nebulosa rapporto fra due righe di [O III] 5.7
la densita' della nebulosa rapporto fra due righe di [S II] 5.7
quanta polvere c'e' davanti decremento di Balmer, 2.86 5.6
la densita' di una fotosfera quanto sono larghe le righe 4
la velocita' di rotazione di una stella quanto sono larghe le righe 4
quanto e' grande la zona ionizzata raggio di Stromgren 8
la temperatura della stella che illumina come sono stratificati gli ioni 8

Tutti questi trucchi hanno la stessa struttura, ed e' bene riconoscerla subito: si fa il rapporto
fra due righe che escono dallo stesso posto, cosi' tutto quello che dipende da quanto e' grande,
quanto e' densa e quanto e' lontana la sorgente si semplifica, e resta solo la fisica.

Domande tattiche

Provaci prima, poi vai a vedere.

1. Comte diceva che non avremmo mai saputo di cosa sono fatte le stelle, e si sbagliava. Che
cosa, esattamente, non aveva previsto? (-> sezione 2)

2. Una nebulosa e una fotosfera stellare stanno tutte e due a $10^4$ K e sono fatte piu' o meno
degli stessi elementi. Come mai una la vedi in emissione e l' altra in assorbimento? (-> sezioni 4
e 5)

3. Ti dicono che in una certa nube di gas si vede benissimo la riga verde a 5007 A. Senza fare
nessun conto, cosa puoi gia' dire di quella nube? (-> sezione 4)

4. Le righe di Balmer sono fortissime nelle A0 e deboli nelle O. Uno studente conclude che le
stelle A0 hanno piu' idrogeno delle O. Dov' e' l' errore, e come glielo spieghi in due frasi?
(-> sezione 3)

5. Tutti i metodi di misura elencati nella sezione 6 hanno una cosa in comune. Quale, e perche'
quella cosa e' cosi' importante? (-> sezione 6)

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Numeri e conversioni da avere in tasca

Questo capitolo non spiega niente, quindi non ha un metodo: e' una cassetta degli attrezzi.
Leggilo di corsa la prima volta e torna qui quando serve.

Questo capitolo non spiega niente. E' la roba che conviene sapere a memoria, perche' torna in ogni
singolo capitolo dopo e perche' avere il numero in testa ti fa capire subito se una cosa e'
plausibile oppure no.

Se stai iniziando adesso, leggilo di corsa e torna qui quando serve.

1. La conversione più usata di tutte

$$\lambda [\unicode{xC5}] = \frac{12400}{E [eV]}$$

Energia in elettronvolt, lunghezza d' onda in Angstrom. Questa la userai venti volte.

Attenzione al verso: e' una divisione, non una moltiplicazione. Piu' energia = lunghezza
d' onda piu' corta.

Esempio: una riga a 5007 A a che energia corrisponde? $12400 / 5007 = 2.48$ eV.
Al contrario: un livello a 2.48 eV che riga fa? $12400 / 2.48 = 5000$ A circa.

SIGNIFICATO FISICO: avere questa in mano vuol dire poter passare in ogni momento dal
mondo delle righe (quello che osservi) al mondo dei livelli di energia (quello che spiega). Sono la
stessa cosa scritta in due unita' diverse.

2. Temperatura in energia

$$k_B T [eV] = \frac{T [K]}{11600}$$

e al contrario, la temperatura che serve per avere in mano una certa energia:

$$T [K] = \chi [eV] \times 11600$$

T $k_B T$
5800 K (Sole, superficie) 0.5 eV
$10^4$ K (nebulosa tipica) 0.86 eV
$10^5$ K 8.6 eV

Quello da ricordare e' 0.86 eV, perche' e' l' energia tipica degli elettroni in una nebulosa e
torna in continuazione: e' il metro con cui misuri se un livello e' raggiungibile o no per via
collisionale.

3. L'idrogeno

$$E_n = -\frac{13.6}{n^2} \; eV$$

Da cui, l' energia per salire dal fondamentale al livello $n$:

$$\chi_{1n} = 13.6 \left( 1 - \frac{1}{n^2} \right) \; eV$$

Attenzione: e' $13.6 (1 - 1/n^2)$, non $13.6 / (1 - n^2)$. E' un errore facile da fare e ti
manda fuori strada di brutto.

3.1 Le quattro energie che contano

quanto cosa fa riga
10.2 eV sale da $n=1$ a $n=2$ Ly$\alpha$, 1216 A
13.6 eV ionizza da $n=1$ limite di Lyman, 912 A
3.4 eV ionizza da $n=2$ limite di Balmer, 3646 A
1.51 eV ionizza da $n=3$ limite di Paschen, 8208 A

Nota che 3.4 e' esattamente $13.6/4$, e 1.51 e' $13.6/9$: sono lo stesso numero diviso $n^2$.

Nota subito così de botto: il limite di Balmer sta a 3.4 eV, non a 13.6. E' un errore in
cui si casca sempre, perche' "13.6" viene automatico appena si sente "ionizzare l' idrogeno". Ma
se l' elettrone parte gia' da $n=2$ ha gia' fatto meta' strada, e gliene servono molti meno.

3.2 Le righe di Balmer

riga $\lambda$ transizione
H$\alpha$ 6563 A $3 \to 2$
H$\beta$ 4861 A $4 \to 2$
H$\gamma$ 4340 A $5 \to 2$
H$\delta$ 4102 A $6 \to 2$

Tutte finiscono su $n=2$ e cadono nel visibile: e' per questo che l' idrogeno si studia con Balmer
e non con Lyman, che sta tutta nell' ultravioletto.

Le distanze fra righe consecutive si stringono man mano che si sale, e si accumulano contro il
limite a 3646 A.

3.3 Peso statistico

$$g_n = 2 n^2$$

Quindi $g_1 = 2$, $g_2 = 8$, $g_3 = 18$. E le funzioni di partizione dell' idrogeno:

$u_0 \approx 2$ $\quad$ per l' idrogeno neutro (a temperature normali domina il fondamentale)

$u_1 = 1$ $\quad$ per l' idrogeno ionizzato: e' un protone nudo, ha un solo stato possibile

4. L'elio

energia
ionizzare He I (neutro -> He II) 24.6 eV
ionizzare He II (-> He III) 54.4 eV

E i livelli dell' He$^+$, che ha un elettrone solo come l' idrogeno ma carica nucleare doppia:

$$E_n = -\frac{54.4}{n^2} \; eV$$

Cioe' esattamente quattro volte l' idrogeno, perche' l' energia va come $Z^2$.

5. Densità: gli ordini di grandezza

dove $N_e$
fotosfera stellare $\sim 10^{14}$ cm$^{-3}$
nebulosa planetaria $10^3 - 10^4$ cm$^{-3}$
regione H II $10^2 - 10^3$ cm$^{-3}$
mezzo interstellare diffuso $\sim 1$ cm$^{-3}$

Tienile a mente perche' sono la chiave di lettura di meta' corso: la stessa fisica, applicata a
densita' che differiscono di dieci ordini di grandezza, da' risultati opposti.

6. Notazione: i numeri romani

Il numero romano indica lo stadio di ionizzazione, e vale uno in piu' del numero di
elettroni persi:

scritto vuol dire
H I idrogeno neutro
H II idrogeno ionizzato (un protone)
O III ossigeno che ha perso due elettroni
He II elio che ha perso un elettrone

Regola: numero romano = $i + 1$, dove $i$ e' quanti elettroni ha perso.

E le parentesi quadre, come in [O III], vogliono dire che quella e' una riga proibita.
Se ne parla nel capitolo 5.7.

7. Un'altra trappola di notazione

Nel capitolo 2, $N_0$ e $N_1$ sono stadi di ionizzazione (neutro,
ionizzato una volta).

Nel capitolo 5, $N_1$ e $N_2$ sono livelli energetici dello stesso
ione.

Stessa scrittura, cose completamente diverse. Guarda sempre di che capitolo si sta parlando.

8. In breve

Le tre che se sai solo quelle te la cavi:

Domande tattiche

Queste sono di riscaldamento, ma se ne sbagli una torna indietro subito.

1. Una riga cade a 4363 A. A che energia sta il salto che la produce? E se ti dicessi 2321 A,
in che parte dello spettro saresti? (-> sezione 1)

2. In una nebulosa a $10^4$ K, un elettrone medio riesce a portare un atomo di idrogeno dal
fondamentale a $n=2$? Fai il confronto coi numeri, non a occhio. (-> sezioni 2 e 3.1)

3. Ti dicono "per ionizzare l' idrogeno servono 13.6 eV". In che caso questa frase e'
sbagliata? (-> sezione 3.1)

4. Cosa vuol dire esattamente [O III], e in cosa e' diverso da O III? (-> sezione 6)

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2 - Popolazioni: Boltzmann, Saha e perche' Balmer ha un massimo

Dispensa: cap. 2 (pag. 19-34).

Capitolo in PODS. Le formule qui sono due e si imparano in un pomeriggio, la fatica sta nel
capire perche' servono: si parte
da un dato osservativo, si mette l' obiezione che lo rende assurdo, e solo dopo si tirano
fuori gli strumenti.

Questo capitolo risponde a una domanda sola, ed e' una domanda che viene da un dato osservativo:

guardo le stelle lungo la sequenza spettrale, e le righe di Balmer sono debolissime nelle O,
diventano fortissime nelle A0, e poi tornano deboli nelle K e M. Perche' c'e' un massimo in
mezzo?

Se le righe di Balmer venissero dall' idrogeno, e l' idrogeno c'e' dappertutto, uno si aspetterebbe
che siano piu' o meno uguali ovunque. E invece no.

1. Cosa serve per fare una riga di Balmer

Prima di tutto capiamo chi le fa, queste righe.

Le righe di Balmer sono transizioni che partono (in assorbimento) dal livello $n=2$ dell' idrogeno
neutro. Quindi per vederle mi serve un atomo che sia:

  1. neutro (se e' ionizzato non ha piu' l' elettrone, non assorbe niente)
  2. eccitato su $n=2$ (se sta sul fondamentale assorbe in Lyman, che e' nell' UV e da terra non
    si vede)

Due condizioni in contrasto fra loro, ed e' tutto li'.

NOTA BENE: questa e' la struttura logica di tutto il capitolo. Ogni volta che
in fisica trovi un massimo, quasi sempre e' perche' hai due condizioni che tirano in direzioni
opposte, una che cresce e una che cala.

2. Primo pezzo: quanti sono eccitati su n=2? (Boltzmann)

Dentro un atomo neutro, come si spartiscono gli elettroni fra i livelli? Lo dice Boltzmann:

$$\frac{N_{i,n}}{N_i} = \frac{g_{i,n}}{u_i(T)} e^{-\chi_{i,n} / k_B T}$$

$N_{i,n}$ $\quad$ quanti atomi dello ione $i$ stanno sul livello $n$

$N_i$ $\quad$ quanti atomi di quello ione ci sono in totale

$\chi_{i,n}$ $\quad$ quanto costa in energia salire dal fondamentale al livello $n$

$g_{i,n}$ $\quad$ il peso statistico del livello: quanti stati quantici diversi stanno alla
stessa energia. Per l' idrogeno $g_n = 2n^2$.

$u_i(T)$ $\quad$ la funzione di partizione, cioe' la somma di tutti i pesi statistici pesati
col loro esponenziale. E' il normalizzatore: serve a far tornare i conti su tutti i livelli. Per
l' idrogeno neutro a temperature normali $u_0 \approx 2$ (il fondamentale domina e vale 2), mentre
$u_1 = 1$ perche' l' idrogeno ionizzato e' un protone nudo, ha un solo stato possibile.

2.1 Come si legge

La formula ha due fattori, e fanno due cose diverse:

La cosa da tenere: l' esponenziale, quando $T \to \infty$, tende a 1, non all' infinito. Quindi
Boltzmann satura. Per l' idrogeno il massimo che puoi ottenere e'

$$\frac{N_{0,2}}{N_0} \to \frac{g_2}{u_0} = \frac{2 \cdot 2^2}{2} = 4$$

Cioe' per quanto scaldi, non superi quel tetto.

Segnati questo, che fra due paragrafi e' il punto della storia.

2.2 Un numero per farsi un' idea

A $T = 10^4$ K, per l' idrogeno, il rapporto fra chi sta su $n=2$ e chi sta su $n=1$ vale

$$\frac{N_{0,2}}{N_{0,1}} = 2.9 \times 10^{-5}$$

Cioe' un atomo su 35000 e' su $n=2$. Sono pochissimi, ed e' proprio in quel regime che le righe
di Balmer sono al massimo. Fa capire quanto sia sensibile la faccenda.

3. Secondo pezzo: quanti sono ancora neutri? (Saha)

Boltzmann mi dice come si distribuiscono gli elettroni dentro uno ione. Non mi dice niente su
quanti atomi siano ancora neutri. Per quello serve Saha:

$$\frac{N_{i+1}}{N_i} P_e = 2 \frac{u_{i+1}(T)}{u_i(T)} C \, T^{5/2} e^{-\chi_i / k_B T}$$

$\chi_i$ $\quad$ il potenziale di ionizzazione (per H I: 13.6 eV)

$P_e$ $\quad$ la pressione elettronica, sta al denominatore del rapporto

$C$ $\quad$ un mucchio di costanti. Non serve impararla: viene dal conteggio delle celle nello
spazio delle fasi, e il 2 davanti sono i due stati di spin dell' elettrone libero.

3.1 Perché $P_e$ sta di sotto

Domanda che ha senso farsi: perche' piu' elettroni ci sono in giro, meno ionizzazione vedo?

Perche' la ionizzazione non e' una strada a senso unico. E' un equilibrio fra ionizzazione e
ricombinazione. Se il gas e' pieno di elettroni liberi, gli ioni ne riacchiappano uno piu' spesso,
quindi all' equilibrio ne trovo meno di ionizzati.

3.2 Perché c'è quel $T^{5/2}$

Questo e' il pezzo che rende Saha diverso da Boltzmann, quindi meglio capirlo bene.

Quando ionizzo, l' elettrone non finisce in un altro livello: finisce libero. E gli stati
disponibili per un elettrone libero non sono un numeretto fisso come $g_n$, sono tutto lo spazio
delle fasi, che si allarga alla grande quando alzo la temperatura.

Quindi Saha ha davanti un fattore che cresce senza tetto, mentre Boltzmann aveva un tetto.

4. Terzo pezzo: mettere insieme i due

Io non voglio ne' "la frazione di neutri" ne' "la frazione di eccitati". Voglio la frazione di
atomi che sono neutri e insieme eccitati su $n=2$, rispetto a tutto l' idrogeno che c'e'.

Si mettono insieme cosi' (dispensa pag. 25):

$$\frac{N_{0,2}}{N_{tot}} = \frac{N_{0,2}/N_0}{1 + N_1/N_0}$$

Sopra c'e' Boltzmann, sotto c'e' Saha.

Sopra: la frazione di neutri che sta su $n=2$.
Sotto: $1 + N_1/N_0$ e' il modo di dire "tutti gli atomi, neutri piu' ionizzati", diviso i neutri.

4.1 L'assunzione nascosta

Qui dentro c'e' un' assunzione che conviene sempre dichiarare, perche' e' quella che fa vedere che
hai capito cosa stai facendo: si sta assumendo che ci sia solo idrogeno.

Non e' un' assunzione sulla densita': la densita' totale si semplifica, perche' sto facendo un
rapporto fra popolazioni dello stesso elemento. E' un' assunzione sulla composizione chimica.

5. Il risultato: perché c'è il massimo

Adesso il grafico si legge da solo.

A bassa temperatura (stelle K, M): l' idrogeno e' tutto neutro, Saha non morde. Pero' Boltzmann
non ce la fa a portare nessuno su $n=2$: servono 10.2 eV e non ce ne sono. Poche righe.

Salendo: Boltzmann comincia a popolare $n=2$. Le righe crescono.

A $T = 9877$ K (stelle A0): massimo.

Continuando a salire: qui succede il sorpasso. Boltzmann ha gia' dato quasi tutto quello che
poteva (satura a 4), mentre Saha ha il $T^{5/2}$ che continua a spingere. Comincio a perdere atomi
neutri piu' in fretta di quanti ne ecciti. Le righe crollano.

A temperature da stella O: idrogeno tutto ionizzato, niente atomi neutri, niente righe di
Balmer.

5.1 Tutta la storia in cinque righe

Eccitare costa meno che ionizzare (10.2 eV contro 13.6), quindi salendo di temperatura Boltzmann
parte per primo e le righe crescono. Ma Boltzmann satura a $g_2/u_0 = 4$, mentre Saha ha un
$T^{5/2}$ che non ha tetto. Quando la ionizzazione sorpassa l' eccitazione, le righe crollano.
Il punto di sorpasso e' il massimo, e cade nelle A0 a circa 9900 K.

5.2 Qualche numero sulla ionizzazione dell' idrogeno

T quanto idrogeno e' ionizzato
9600 K 50%
$10^4$ K 70%
14000 K ~100%

Fa vedere quanto e' brusca la transizione: in poco piu' di 4000 K si passa da meta' a tutto.

6. Una domanda che può arrivare: fino a che n si arriva?

In teoria i livelli dell' idrogeno sono infiniti, $E_n = -13.6/n^2$ si infittiscono verso lo zero.
In pratica esiste un $n^*$ massimo oltre il quale non vedi piu' niente, e il motivo e' bello:

le righe di una serie, andando verso il limite, si stringono sempre di piu' fra loro. Quando la
loro distanza scende sotto la larghezza della riga stessa, si fondono in un continuo e non le
distingui piu'.

Esempio, sulla serie di Balmer:

E siccome la larghezza della riga dipende dagli urti, cioe' dalla densita', $n^*$ dipende dalla
densita' del gas: gas denso -> righe larghe -> si fondono prima -> $n^*$ basso.

7. Attenzione alla notazione

Due trappole in cui e' facile cascare:

  1. $N_1/N_0$ in questo capitolo sono stadi di ionizzazione (neutro, ionizzato una volta), non
    livelli energetici. Nel capitolo 5, quando si parla di atomo a due livelli, $N_2/N_1$ sono
    invece livelli. Stessa scrittura, cose diverse.
  2. Il numero romano vale $i+1$: H I e' l' idrogeno neutro, O III e' l' ossigeno ionizzato
    due volte.

8. In breve

Ultima nota: questo capitolo e' l' unico posto del corso in cui si usa Boltzmann sul serio.
Dal capitolo 5 in poi si passa alle nebulose, dove Boltzmann non vale piu' perche' le
collisioni sono troppo rare per mantenere l' equilibrio. Tieni da parte questa formula, perche' piu'
avanti ricomparira' come caso limite: quando la densita' e' alta, il conto fatto a mano torna a
darti Boltzmann. Vedi il capitolo 5.

Domande tattiche

1. Scalda l' idrogeno all' infinito. Boltzmann cosa fa? E Saha? Rispondi guardando le due
formule, non a memoria. (-> sezioni 2.1 e 3.2)

2. Nella formula di Saha la pressione elettronica sta al denominatore. Prova a spiegare
perche' con una frase che parli di quello che succede agli atomi, senza citare la formula.
(-> sezione 3.1)

3. Uno ti dice: "il massimo delle righe di Balmer cade dove il gas ha la densita' giusta".
Dov' e' l' errore? (-> sezione 4.1)

4. A $10^4$ K solo un atomo di idrogeno su 35000 sta su $n=2$. Eppure e' li' che le righe di
Balmer sono al massimo. Come si mette insieme? (-> sezioni 2.2 e 5)

5. In un gas molto denso il numero massimo di livelli visibili $n^*$ e' piu' alto o piu' basso
che in un gas rarefatto? Il ragionamento passa da un altro capitolo, quale? (-> sezione 6, e
capitolo 4)

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3 - Trasporto radiativo: perche' una riga e' scura o luminosa

Dispensa: cap. 3 (pag. 35-40).

Capitolo a mattoncini, ed e' il piu' importante di tutti: ogni pezzo si appoggia sul
precedente, quindi non saltarne nessuno anche se sembrano ovvi.

Questo capitolo e' il piu' importante di tutti, lo dico subito. Non perche' sia difficile:
perche' e' l' unico che vale sempre, stelle e nebulose, righe in assorbimento e righe in
emissione. Tutto il resto del corso e' un caso particolare di quello che c'e' scritto qui.

La domanda e':

la luce attraversa un gas. Quando esce, cos' e' cambiato?

1. Le due sole cose che possono succedere

Prendi un raggio di intensita' $I$ e mandalo dentro uno straterello di gas spesso $ds$. Ci sono due
cose che possono succedere, e solo due:

  1. il gas si mangia un po' di luce (assorbimento)
  2. il gas ci aggiunge un po' di luce (emissione)

Scritto:

$$\frac{dI}{ds} = -k I + \varepsilon$$

$k$ $\quad$ coefficiente di assorbimento, quanto il gas e' bravo a mangiare. Nota che moltiplica
$I$: piu' luce arriva, piu' ne viene tolta (togliere il 10% di tanto e' tanto).

$\varepsilon$ $\quad$ emissivita', quanta luce il gas ci mette di suo. Non moltiplica $I$: il gas
emette per conto suo, che tu gli mandi luce o no.

Attenzione: tutta l' asimmetria del problema sta qui. L' assorbimento e'
proporzionale a quello che c'e', l' emissione no. Da questa differenza esce tutto il resto.

2. Primo trucco: mettere insieme i due coefficienti

L' equazione cosi' com' e' ha due coefficienti scomodi. Si raccoglie $k$:

$$\frac{dI}{ds} = -k \left( I - \frac{\varepsilon}{k} \right)$$

e si da' un nome a quel rapporto, che si chiama funzione sorgente:

$$S \equiv \frac{\varepsilon}{k}$$

quindi

$$\frac{dI}{ds} = -k (I - S)$$

2.1 Che cos'è $S$, in parole

$S$ e' il rapporto fra quanto il gas emette e quanto assorbe. Dimensionalmente e' un' intensita', e
si legge cosi':

$S$ e' l' intensita' verso cui il gas sta cercando di portare la radiazione.

Guarda l' equazione: se $I$ e' piu' grande di $S$, la derivata e' negativa e $I$ cala. Se $I$ e'
piu' piccola di $S$, la derivata e' positiva e $I$ cresce. Se sono uguali, non succede niente.

Il gas tira sempre $I$ verso $S$.

2.2 Il criterio generale (da qui esce tutto il corso)

se vedi
$I > S$ assorbimento (riga scura)
$I < S$ emissione (riga luminosa)
$I = S$ niente riga

Occhio a questo: questo e' il criterio generale, e non dipende da niente. Non
dipende dal fatto che tu stia guardando una stella o una nebulosa, non dipende dalla temperatura,
non dipende dalla densita'. Se ti ricordi solo una cosa di tutto il corso, ricordati questa: che
tipo di riga vedi dipende dal confronto fra la luce che arriva e la funzione sorgente del gas.

3. Secondo trucco: misurare il cammino in modo furbo

Dire "lo strato e' spesso un metro" non serve a niente, perche' dipende da quanto e' denso e da
quanto assorbe. Quello che conta e' quanto assorbimento c'e' lungo il cammino. Quindi si
cambia variabile:

$$d\tau = k \, ds$$

$\tau$ si chiama profondita' ottica ed e' adimensionale. Non misura una distanza: misura
quanto e' opaco il cammino.

$\tau$ come si dice quanta luce passa
$\tau \ll 1$ otticamente sottile quasi tutta
$\tau = 1$ - il 37% ($1/e$)
$\tau \gg 1$ otticamente spesso quasi niente

Attenzione: otticamente sottile vuol dire $\tau \ll 1$. Il numero $2/3$ che si incontra piu'
avanti e' un' altra cosa: e' la profondita' a cui si definisce la fotosfera di una stella.

4. La soluzione

Con $\tau$ al posto di $s$, l' equazione si integra e viene:

$$I = I_0 e^{-\tau} + S (1 - e^{-\tau})$$

$I_0 e^{-\tau}$ $\quad$ quello che resta della luce di partenza: attenuato esponenzialmente

$S(1 - e^{-\tau})$ $\quad$ quello che il gas ci ha messo di suo

4.1 Leggerla nei casi limite

E' una media pesata fra $I_0$ e $S$, e il peso e' $e^{-\tau}$.

Se $\tau \to 0$ (gas trasparente): $e^{-\tau} \to 1$, quindi $I \to I_0$. Non e' cambiato
niente, la luce passa e basta.

Se $\tau \to \infty$ (gas opaco): $e^{-\tau} \to 0$, quindi $I \to S$. Ti sei dimenticato
completamente di $I_0$: qualunque cosa ci fosse dietro, tu vedi solo il gas.

Vale la pena dirlo: questo secondo caso e' il motivo per cui esiste il concetto di
fotosfera. Guardando una stella non vedi il centro: vedi lo strato dove $\tau$ diventa circa 1
(per convenzione $2/3$), perche' tutto quello che sta sotto e' schermato. La "superficie" di una
stella e' semplicemente la profondita' a cui il gas smette di essere trasparente.

5. Quando $S$ diventa Planck

Fin qui $S$ e' solo un rapporto fra due coefficienti. Ma se il gas e' in equilibrio
termodinamico locale (LTE), cioe' se le collisioni sono cosi' frequenti da imporre a tutto quanto
la stessa temperatura $T$, allora vale la legge di Kirchhoff e viene fuori questa:

$$S = B_\nu(T)$$

cioe' la funzione sorgente diventa il corpo nero a quella temperatura.

Questa uguaglianza vale solo in LTE. Nelle nebulose non vale, ed e' esattamente per quello che
le nebulose si comportano in modo cosi' diverso.

6. Il caso delle stelle: perché le righe sono scure

Adesso mettiamo insieme i pezzi e rispondiamo alla domanda vera.

Siamo in una fotosfera stellare, densa, in LTE, quindi $S = B(T)$. La temperatura cala salendo
verso l' esterno.

Il punto e' questo: il coefficiente di assorbimento $k$ non e' lo stesso a tutte le lunghezze
d' onda. Alla lunghezza d' onda di una riga il gas assorbe molto di piu':

$$k_{riga} \gg k_{continuo}$$

Conseguenza diretta: $\tau$ arriva a 1 prima, cioe' piu' in alto.

E siccome $S = B(T)$ e $B$ cresce con $T$, lo strato freddo emette meno. Quindi dentro la riga
arriva meno luce che nel continuo: la riga e' scura.

6.1 La cosa che chiude il ragionamento

E qui ne segue una cosa che secondo me e' il modo migliore di verificare se hai capito davvero
questo capitolo:

senza un gradiente di temperatura non esiste nessuna riga.

Se la fotosfera fosse isoterma, tutti gli strati avrebbero la stessa $S$, e non importerebbe da
quale profondita' ti arriva la luce: vedresti sempre la stessa intensita'. Spettro liscio, nessuna
riga, ne' scura ne' luminosa.

Le righe non le fa il gas: le fa il gradiente. Il gas decide solo a che lunghezza d' onda
succede.

7. Il caso delle nebulose: perché le righe sono luminose

Stesso identico criterio, situazione rovesciata.

Guardi una nebulosa. Alle sue spalle non c'e' niente: $I_0 \approx 0$, e il fondo cielo e'
buio. Il gas invece emette, quindi $S > 0$.

Quindi $I < S$, e per il criterio del punto 2.2 vedi emissione.

E siccome il gas e' rarefatto, $\tau \ll 1$ nelle righe: tutti i fotoni prodotti escono senza
essere riassorbiti. Questo semplifica moltissimo la vita, e ci si torna nel
capitolo 5.5.

7.1 Lo stesso gas, due risposte diverse

Su questo fermiamoci un secondo.

Non e' che le nebulose siano fatte di roba diversa dalle stelle. E' lo stesso idrogeno. Quello che
cambia e' cosa c'e' dietro:

cosa c'e' dietro $I_0$ risultato
fotosfera strati piu' caldi e profondi grande $I > S$ -> assorbimento
nebulosa spazio vuoto ~0 $I < S$ -> emissione

Se metti una nube di gas davanti a una stella la vedi in assorbimento, se la metti di fianco
la vedi in emissione. Stessa nube.

8. In breve

Domande tattiche

1. Hai una nube di gas e una stella. Come devi disporle per vedere le righe in assorbimento?
E per vederle in emissione? La nube e' sempre la stessa. (-> sezioni 2.2 e 7.1)

2. Una fotosfera perfettamente isoterma: che spettro produce? Rispondi ragionando su $S$, non
a memoria. (-> sezione 6.1)

3. Perche' guardando il Sole non vedi il suo centro? La risposta sta in una formula sola.
(-> sezione 4.1)

4. Dentro una riga il gas assorbe molto di piu' che nel continuo. Come mai questo la rende
scura e non luminosa? Fai il percorso completo, sono tre passaggi. (-> sezione 6)

5. In che condizioni puoi scrivere $S = B(T)$? E cosa succede se lo fai in una nebulosa?
(-> sezione 5)

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4 - Righe in assorbimento: quanto e' forte e quanto e' larga

Dispensa: cap. 4 (pag. 41-52).

Capitolo a mattoncini. Non c'e' un ragionamento unico da difendere: ci sono sei o sette cose
diverse da posare una sull' altra, e si prendono una per volta.

Dal capitolo 3 sappiamo perche' in una stella le righe sono scure. Adesso
le guardiamo da vicino, e ci sono due domande diverse da fare, che vanno tenute ben separate:

  1. quanta luce manca? $\rightarrow$ larghezza equivalente (EW)
  2. quanto e' larga la riga? $\rightarrow$ FWHM e i meccanismi di allargamento

Sono due cose indipendenti. Una riga puo' togliere tanta luce restando stretta, oppure toglierne
poca essendo larghissima.

1. Quanta luce manca

Voglio un numero che dica quanto una riga e' forte. Ma quale numero?

La profondita' del minimo non va bene: dipende da quanto e' larga la riga e soprattutto da
quanto e' buono lo spettrografo. Uno strumento con poca risoluzione mi spalma la riga e me la fa
sembrare meno profonda, pur essendo la stessa identica riga.

Serve una misura che sia robusta rispetto allo strumento.

1.1 L'idea

Invece di misurare quanto e' profonda, misuro quanta luce manca in totale: prendo tutta l' area
fra il continuo e la riga.

$$EW = \frac{1}{\bar{I_c}} \int_{\lambda_1}^{\lambda_2} \left( \bar{I_c} - I_\lambda \right) d\lambda$$

$\bar{I_c}$ $\quad$ il livello del continuo, cioe' quanta luce ci sarebbe se la riga non ci fosse.
Si misura facendo la media dei punti a destra e a sinistra della riga.

$(\bar{I_c} - I_\lambda)$ $\quad$ quanto manca, punto per punto

$\lambda_1, \lambda_2$ $\quad$ dove decido io che la riga comincia e finisce

Dividendo per il continuo il risultato viene in Angstrom, ed e' un' area normalizzata.

1.2 Perché si chiama "larghezza"

Il nome viene da come si legge il risultato:

la EW e' la larghezza di un rettangolo completamente nero, alto quanto il continuo, che
toglierebbe esattamente la stessa quantita' di luce della riga vera.

Cioe': prendo tutta la luce che manca, sparsa su un profilo che sale e scende, e la impacchetto in
un rettangolo. La base di quel rettangolo e' la EW.

Nota subito così de botto: ecco perche' e' robusta. Se lo strumento mi allarga la riga, la
riga diventa piu' bassa ma anche piu' larga, e l' area non cambia. La EW misura una proprieta'
del gas, non dello spettrografo.

1.3 Come si calcola sui dati

Nella pratica lo spettro e' un vettore di numeri, quindi l' integrale diventa una somma:

$$EW = \frac{\sum_i \left( \bar{I_c} - I_i \right) \Delta\lambda}{\bar{I_c}}$$

$\Delta\lambda$ $\quad$ il passo di campionamento dello spettro

1.4 Esempio numerico

Ho questo vettore di flusso, con passo $\Delta\lambda = 1$ A:

$$100 \quad 100 \quad 60 \quad 40 \quad 60 \quad 100 \quad 100$$

Decido che la riga va dall' indice 2 (il primo 60) all' indice 4 (il secondo 60).

Il continuo: media dei punti fuori dalla riga

$$\bar{I_c} = \frac{100 + 100 + 100 + 100}{4} = 100$$

Quello che manca: punto per punto, quanto sta sotto il continuo

$$(100-60) + (100-40) + (100-60) = 40 + 60 + 40 = 140$$

La EW:

$$EW = \frac{140}{100} \times 1 \, \unicode{xC5} = 1.4 \; \unicode{xC5}$$

Vuol dire: quella riga toglie la stessa luce che toglierebbe una banda nera larga 1.4 A.

2. Quanto e' larga

Una riga non e' mai una linea sottile: ha sempre una larghezza. La misura che si usa e' la
FWHM, la larghezza a meta' altezza.

La domanda e': da dove viene quella larghezza?

E' una domanda che si ribalta subito: misurando la larghezza si
risale alle proprieta' del gas. E' cosi' che si misurano temperature, densita' e velocita' di
rotazione di stelle che non vedremo mai da vicino.

Attenzione a non confonderla con la EW: la EW dice quanta luce manca, la FWHM dice quanto e'
larga la riga. Sono due misure diverse che non si implicano a vicenda.

2.1 I cinque meccanismi, in colpo d'occhio

Sono cinque e vanno imparati come lista chiusa. Prima la struttura, poi uno per uno:

meccanismo profilo
due lorentziani naturale, collisionale picco stretto, ali larghe
due gaussiani Doppler termico, microturbolenza campana, ali che crollano
uno geometrico rotazionale semiellisse

2.2 Allargamento naturale (lorentziano)

E' l' unico che c'e' sempre, anche con un singolo atomo fermo e isolato nel vuoto.

Un livello eccitato ha vita media finita, $\Delta t \simeq 1/A$. Per il principio di
indeterminazione, un livello che dura poco ha un' energia mal definita:

$$\Delta E \, \Delta t \simeq \hbar \quad \rightarrow \quad \Delta \nu = \frac{1}{2 \pi \Delta t}$$

Il classico dice la stessa cosa: l' atomo e' un oscillatore smorzato, l' onda che emette non
dura per sempre ma si spegne con costante di tempo $\tau = 1/A$, e un treno d' onda che non dura
per sempre non ha una frequenza sola.

$$\text{FWHM}(\lambda) \simeq 1.18 \times 10^{-4} \; \unicode{xC5}$$

Occhio: in lunghezza d' onda viene un numero costante, che non dipende
da quale riga stai guardando. Ed e' piccolissimo: $10^{-4}$ A e' il piu' piccolo di tutti, non lo
risolvi mai in uno spettro astrofisico. C'e' sempre, ma non lo vedi mai da solo.

Collegamento in avanti: un livello metastabile ha $A$ piccolissimo, quindi vita lunghissima,
quindi riga naturale ancora piu' stretta. Vedi il capitolo 5.7.

2.3 Doppler termico (gaussiano)

Gli atomi del gas si agitano. Ognuno emette alla sua frequenza esatta, ma si sta muovendo rispetto
a me, quindi io la vedo spostata:

$$\nu = \nu_0 \left( 1 + \frac{v}{c} \right)$$

Chi viene verso di me la manda nel blu, chi scappa nel rosso. Siccome le velocita' seguono
Maxwell-Boltzmann, la riga risultante e' una gaussiana:

$$v_{th} = \sqrt{\frac{2 k_B T}{m}}$$

Va come $\sqrt{T/m}$: caldo allarga, pesante stringe.

dove elemento $v_{th}$
Sole, $T \simeq 5800$ K idrogeno ~9.8 km/s
nebulosa, $T \simeq 10^4$ K idrogeno ~13 km/s
nebulosa, $T \simeq 10^4$ K ferro ($A=56$) 13/$\sqrt{56}$ ~ 1.7 km/s

Per passare da un elemento all' altro basta dividere per $\sqrt{A}$.

2.4 Microturbolenza (gaussiano)

Stessa geometria del Doppler termico, ma quello che si muove non e' il singolo atomo: sono
celle di gas intere, piu' piccole del libero cammino medio del fotone. Il fotone attraversa la
cella e la vede muoversi tutta insieme.

Anche questa e' gaussiana, e si somma al termico in quadratura:

$$\Delta \nu = \frac{\nu_0}{c} \sqrt{\frac{2 k_B T}{m} + v_{turb}^2}$$

In pratica: la microturbolenza non dipende dalla massa, perche' a muoversi
e' la cella intera e non l' atomo. E la cosa serve, perche' e' cosi' che si separano i due
contributi. Se guardo due elementi di massa molto diversa nello stesso spettro, il termico li
allarga in modo diverso e la turbolenza li allarga uguale. Due equazioni, due incognite, e tiro
fuori sia $T$ che $v_{turb}$.

2.5 Collisionale, o di pressione (lorentziano)

Se il gas e' abbastanza denso, gli atomi si urtano. Ogni urto tronca il treno d' onda, che e'
esattamente la stessa fisica dell' allargamento naturale: la vita del livello si accorcia, solo che
stavolta e' l' urto ad accorciarla invece del decadimento spontaneo.

Per questo il profilo torna ad essere una lorentziana.

Dipende da:

Da ricordare: ecco a cosa serve. E' un misuratore di densita', e da li' esce la
classificazione delle classi di luminosita' MK. Una nana ha gravita' superficiale alta,
atmosfera densa e compatta $\rightarrow$ righe larghe. Una gigante ha atmosfera rarefatta
$\rightarrow$ le stesse righe escono strette. Guardando la larghezza delle righe distinguo I,
III e V a parita' di tipo spettrale.

Occhio a questo, che e' l' errore facile: l' urto non toglie energia al fotone. La riga resta
centrata dov' era e si allarga da tutte e due le parti. Quello che cambia e' che l' energia diventa
meno definita.

2.6 Rotazionale (semiellisse)

L' unico geometrico, e va capito che e' di natura diversa dagli altri quattro.

La stella ruota. Un lembo del disco viene verso di me, l' altro scappa. Ogni singolo punto della
superficie emette una riga stretta, solo spostata di un po'. Il fatto e' che io il disco
stellare non lo risolvo: mi arriva tutto sommato in un unico spettro, e la somma di tante righe
strette spostate diversamente e' una riga larga.

$$\frac{\Delta\lambda}{\lambda}\bigg|_{max} = \frac{V \sin i}{c}$$

$V$ $\quad$ velocita' di rotazione all' equatore

$i$ $\quad$ angolo fra l' asse di rotazione e la linea di vista

Il $\sin i$ c'e' perche' l' inclinazione dell' asse non la conosco: se la stella la vedo di
polo ($i = 0$) la rotazione non allarga niente, perche' nessun punto si avvicina o si allontana.
Quindi non misuro mai $V$, misuro sempre e solo $V \sin i$.

Il profilo e' una semiellisse, e viene fuori dal fatto che l' intensita' di ogni striscia
verticale del disco e' proporzionale alla lunghezza della corda.

tipo $V \sin i$
O, B, A 100-200 km/s
F ~50 km/s
G ~10 km/s
Sole ~2 km/s
Be/Oe peculiari 250-400 km/s

3. Mettendoli insieme: il profilo di Voigt

Nella realta' ci sono tutti insieme, e il profilo osservato e' la convoluzione dei gaussiani
coi lorentziani. Si chiama profilo di Voigt, e ha una forma caratteristica:

nucleo gaussiano, ali lorentziane.

3.1 Perché viene fuori proprio così

Basta guardare come le due funzioni vanno a zero allontanandosi dal centro:

$$\phi_{gauss} \propto e^{-\Delta^2} \qquad \qquad \phi_{lorentz} \propto \Delta^{-2}$$

L' esponenziale crolla molto piu' in fretta di una potenza.

Vicino al centro: la gaussiana e' grossa e detta lei la forma.
Lontano dal centro: la gaussiana e' gia' sparita, e restano solo le ali lorentziane a reggere.

3.2 Righe forti: il centro satura

Una cosa pratica da tenere a mente: nelle righe molto forti il centro si
satura, cioe' e' gia' completamente nero e non puo' andare piu' giu'.

Quindi se aggiungo altri atomi assorbenti, la riga non puo' piu' approfondirsi: cresce in
larghezza, cioe' crescono le ali lorentziane. E' il regime in cui la EW smette di essere
proporzionale al numero di atomi e ricomincia a crescere solo lentamente.

4. In breve

Sulla EW:

Sugli allargamenti:

meccanismo causa profilo dipende da
naturale vita media finita, Heisenberg lorentziano $A$; ~$10^{-4}$ A, il piu' piccolo
Doppler termico agitazione termica gaussiano $\sqrt{T/m}$; H a $10^4$ K = 13 km/s
microturbolenza celle di gas gaussiano $v_{turb}$, non dalla massa
collisionale urti che troncano il treno d' onda lorentziano densita' $\rightarrow$ classi MK
rotazionale rotazione della stella semiellisse $V \sin i / c$, unico geometrico

Domande tattiche

1. Prendi lo stesso spettro e riosservalo con uno spettrografo peggiore, che risolve meno.
La EW cambia? E la FWHM? (-> sezioni 1.2 e 2)

2. In una stella misuri la riga dell' idrogeno e quella del ferro. La riga dell' idrogeno e'
molto piu' larga. Puoi concludere che l' idrogeno e' piu' caldo del ferro? (-> sezione 2.3)

3. Due stelle hanno lo stesso tipo spettrale, ma una ha le righe nettamente piu' larghe.
Quali due spiegazioni diverse ti vengono in mente, e come faresti a distinguerle? (-> sezioni 2.5 e 2.6)

4. Ti dicono: "l' urto sposta la riga verso il rosso perche' il fotone perde energia". Dov' e'
l' errore? (-> sezione 2.5)

5. Guardi due elementi di massa molto diversa nello stesso spettro e trovi che si allargano
esattamente uguale. Cosa vuol dire? (-> sezione 2.4)

6. Una riga e' fortissima e il suo centro e' completamente nero. Aggiungi altri atomi
assorbenti sul cammino. Cosa cambia nel profilo, e perche' proprio li'? (-> sezioni 3.1 e 3.2)

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5.1-5.4 - Gas rarefatto: atomo a due livelli, densita' critica, quenching

Dispensa: cap. 5.1-5.4 (pag. 53-63).

Capitolo a mattoncini. Si costruisce un bilancio pezzo per pezzo, e poi lo si legge nei
due casi limite: e' li' che sta tutto il capitolo.

Da qui in poi si cambia mondo: si lascia la fotosfera e si va nelle nebulose. La temperatura e'
quasi la stessa ($\sim 10^4$ K), ma la densita' crolla di dieci ordini di grandezza.

E la prima conseguenza e' pesante: Boltzmann non vale piu'.

Boltzmann descrive un gas in cui le collisioni sono cosi' frequenti da imporre l' equilibrio. In
una nebulosa le collisioni sono rarissime. Quindi le popolazioni dei livelli vanno calcolate a
mano, contando chi sale e chi scende.

Questo capitolo fa esattamente quel conto, nel caso piu' semplice possibile.

1. Il modello

Si prende un atomo (o uno ione: vale per qualsiasi specie, e il caso piu' importante non e'
affatto l' idrogeno) e si finge che abbia due soli livelli: uno basso dove sta di solito, e uno
alto dove puo' salire.

Perche' si puo' fare una semplificazione cosi' brutale?

  1. perche' semplifica i conti, e questo e' onesto dirlo
  2. perche' in quelle condizioni e' quasi vero: a $10^4$ K l' energia tipica e' 0.86 eV, quindi
    di livelli davvero raggiungibili ce n'e' pochissimi. Gli altri stanno troppo in alto.

In pratica: un livello in cui l' atomo sta, uno in cui puo' salire, e una sola riga che nasce
dalla transizione fra i due.

2. I modi per salire e per scendere

Adesso si contano i processi. Sono quattro in tutto, due che portano su e due che portano giu'.

2.1 Per salire da 1 a 2

Assorbo un fotone di energia esatta $h\nu = E_2 - E_1$: si conta come $N_1 U B_{12}$.

Mi urta un elettrone libero abbastanza energetico, che mi cede energia: si conta come
$N_1 N_e Q_{12}$.

$N_1$ $\quad$ densita' numerica di atomi sul livello 1

$N_e$ $\quad$ densita' numerica di elettroni liberi

$Q_{12}$ $\quad$ rate collisionale di eccitazione, in cm$^3$ s$^{-1}$

$U B_{12}$ $\quad$ rate radiativo, dipende dal campo di radiazione $U$

Da tenere: il termine radiativo $U B_{12}$ si butta via. In una nebulosa
la stella e' lontanissima, il campo di radiazione arrivato li' e' diluito di un fattore
enorme, e i fotoni giusti per quella transizione praticamente non passano. Quindi resta solo il
canale collisionale: in una nebulosa si sale solo per urto.

2.2 Per scendere da 2 a 1

Emetto un fotone: si conta come $N_2 A_{21}$.

Cedo la mia energia a un elettrone che passa (urto di seconda specie, o superelastico): si
conta come $N_2 N_e Q_{21}$.

$A_{21}$ $\quad$ coefficiente di Einstein, probabilita' di decadere spontaneamente al secondo

$Q_{21}$ $\quad$ rate collisionale di diseccitazione

Questa e' la biforcazione centrale di tutto il capitolo, quindi fermiamoci un attimo:

come scendo cosa succede all' energia
emetto un fotone esce dalla nebulosa e la vedo
mi urta un elettrone resta nel gas come calore, non la vedo

Tutto quello che segue e' capire quale dei due vince.

3. L'equazione di equilibrio statistico

Una nebulosa cambia su scale di migliaia di anni, mentre i processi atomici avvengono in frazioni
di secondo. Quindi, sui tempi che ci interessano, la situazione e' stabile: il numero di atomi
che salgono deve pareggiare quello di chi scende.

$$(\text{quelli che salgono}) = (\text{quelli che scendono})$$

$$N_1 N_e Q_{12} = N_2 A_{21} + N_2 N_e Q_{21}$$

Da cui si ricava il rapporto fra le popolazioni:

$$\frac{N_2}{N_1} = \frac{N_e Q_{12}}{A_{21} + N_e Q_{21}}$$

Qui si nota una cosa: questa formula sostituisce Boltzmann. Boltzmann diceva che il
rapporto fra due popolazioni dipende solo dalla temperatura. Qui invece dipende anche dalla
densita', perche' $N_e$ compare sia sopra che sotto e non si semplifica. E' la firma del fatto
che non siamo in equilibrio.

3.1 Come si legge il denominatore

I due termini di sotto sono le due strade per svuotare il livello 2.

$A_{21}$ $\quad$ svuotamento per emissione, e non dipende dalla densita': e' una proprieta'
dell' atomo

$N_e Q_{21}$ $\quad$ svuotamento per urto, e cresce con la densita'

Quale dei due comanda dipende da quanto e' denso il gas. Ed e' l' unica domanda che conta.

4. La densità critica

Domanda naturale, ed e' quella giusta da farsi:

a che densita' i due si pareggiano?

Si impone $A_{21} = N_e Q_{21}$ e si tira fuori quella densita', che si chiama densita' critica:

$$N_c = \frac{A_{21}}{Q_{21}}$$

$N_c$ e' la densita' alla quale un atomo eccitato ha la stessa probabilita' di decadere
emettendo un fotone o di essere spento da un urto.

Ogni transizione di ogni ione ha la sua $N_c$. Non e' un numero universale: dipende da $A_{21}$,
cioe' da quanto quella transizione e' veloce.

5. Primo regime: gas rarefatto ($N_e \ll N_c$)

Qui $N_e Q_{21}$ e' trascurabile davanti ad $A_{21}$, quindi:

$$\frac{N_2}{N_1} = \frac{N_e Q_{12}}{A_{21}}$$

Adesso il passaggio bello. L' emissivita' della riga e' "quanti decadimenti al secondo per
cm$^3$", cioe':

$$\varepsilon \propto N_2 A_{21}$$

Sostituendo $N_2$ trovato sopra:

$$\varepsilon = N_1 N_e Q_{12}$$

$A_{21}$ si è cancellato.

5.1 Cosa vuol dire che $A_{21}$ sparisce

Questo e' il punto piu' importante di tutto il capitolo, quindi lo scrivo lento.

Se il gas e' abbastanza rarefatto, l' intensita' della riga non dipende da quanto quella
transizione e' probabile.

Il motivo, a pensarci, e' ovvio: se l' atomo e' salito su, prima o poi deve scendere, e
l' unico modo che ha e' emettere. Che ci metta $10^{-8}$ secondi o dieci secondi non cambia niente,
perche' tanto in quel tempo non lo disturba nessuno.

A bassa densita', ogni eccitazione diventa un fotone.

E l' emissivita' e' governata solo da quanto spesso si sale, cioe' dagli urti. Siccome
$N_1 \propto N_e$ nel gas:

$$\varepsilon \propto N_e^2$$

Va col quadrato della densita': serve un elettrone per urtare e un atomo da urtare.

6. Secondo regime: gas denso ($N_e \gg N_c$)

Qui succede il contrario: $A_{21}$ e' trascurabile davanti a $N_e Q_{21}$, quindi

$$\frac{N_2}{N_1} = \frac{N_e Q_{12}}{N_e Q_{21}} = \frac{Q_{12}}{Q_{21}}$$

$N_e$ si semplifica, e resta un rapporto fra due coefficienti collisionali.

6.1 Il rapporto $Q_{12}/Q_{21}$

Quel rapporto e' noto, e viene dal bilancio dettagliato: in equilibrio termodinamico ogni
processo e' bilanciato esattamente dal suo inverso, quindi

$$N_1 N_e Q_{12} = N_2 N_e Q_{21} \quad \rightarrow \quad \frac{N_2}{N_1} = \frac{Q_{12}}{Q_{21}}$$

e siccome in equilibrio quel rapporto lo da' Boltzmann:

$$\frac{Q_{12}}{Q_{21}} = \frac{g_2}{g_1} e^{-h\nu / k_B T}$$

Nota: questa relazione si ricava assumendo l' equilibrio, ma poi si usa
anche fuori dall' equilibrio, e non e' una scorrettezza. Il motivo: e' una relazione fra
coefficienti, non fra popolazioni. Dentro non compaiono $N_1$ ne' $N_2$. I coefficienti sono
proprieta' dell' atomo e degli elettroni che lo urtano, e l' unica cosa che serve perche' valga e'
che gli elettroni abbiano una distribuzione di velocita' maxwelliana - cosa che in una nebulosa e'
vera, perche' gli elettroni si termalizzano fra loro molto in fretta.

6.2 Il risultato

Sostituendo in $\varepsilon \propto N_2 A_{21}$:

$$\varepsilon = A_{21} N_1 \frac{g_2}{g_1} e^{-h\nu/k_B T}$$

Siamo tornati a Boltzmann. E stavolta $A_{21}$ c'e', eccome.

Il motivo fisico: a densita' alta il livello 2 non riesce ad accumularsi oltre il valore di
equilibrio, perche' ogni urto che eccita e' pareggiato da uno che diseccita. Quindi quello che
conta e' quanto sei veloce a emettere prima che ti spengano.

E siccome $N_1 \propto N_e$:

$$\varepsilon \propto N_e$$

Va lineare con la densita', non piu' col quadrato.

7. Il quenching

Quello che succede nel regime denso ha un nome: quenching, cioe' spegnimento.

l' atomo viene eccitato per urto, ma prima che faccia in tempo a emettere il fotone arriva un
secondo urto che gli riprende l' energia. Il fotone non viene mai emesso, e l' energia resta nel
gas come calore.

E' esattamente il motivo per cui certe righe si vedono nelle nebulose e non si vedono in
laboratorio: in laboratorio non si riesce a fare il vuoto abbastanza spinto.

8. Il quadro completo

$N_e \ll N_c$ $N_e \gg N_c$
chi svuota il livello 2 l' emissione gli urti
$A_{21}$ nella formula sparisce compare
chi comanda quanto spesso si sale Boltzmann
$\varepsilon$ va come $N_e^2$ $N_e$
destino dell' energia esce come fotone resta come calore
le righe lente (proibite) si vedono si spengono

8.1 Perché questo capitolo spiega le righe proibite

Ed ecco a cosa serviva tutto il discorso.

Una riga proibita e' una riga con $A_{21}$ ridicolmente piccolo, tipo $10^{-2}$ s$^{-1}$ contro
i $10^8$ di una riga normale. Guardando la tabella:

E c'e' anche il verso quantitativo: $N_c = A_{21}/Q_{21}$, quindi una riga con $A_{21}$ piccolo ha
$N_c$ bassissima, cioe' basta pochissima densita' per spegnerla.

Se ne parla per bene nel capitolo 5.7.

9. In breve

Domande tattiche

1. In una nebulosa, un atomo puo' salire di livello in due modi. Perche' se ne butta via uno?
(-> sezione 2.1)

2. A bassa densita' l' emissivita' della riga non dipende da $A_{21}$. Spiega perche' con una
frase che parli dell' atomo, senza usare la formula. (-> sezione 5.1)

3. La relazione $Q_{12}/Q_{21} = (g_2/g_1)e^{-h
u/k_BT}$ si ricava assumendo l' equilibrio, ma
poi la usiamo fuori dall' equilibrio. Perche' non e' una scorrettezza? (-> sezione 6.1)

4. Ti danno due nebulose identiche tranne che per la densita': una a $10^2$ e una a $10^7$
cm$^{-3}$. In quale vedi la riga proibita, e di quanto cresce l' emissivita' se raddoppi la
densita' in ciascuna? (-> sezioni 5.1, 6.2 e 8)

5. Nel regime denso ritrovi Boltzmann. Non e' strano, visto che eravamo partiti dicendo che in
nebulosa Boltzmann non vale? Sistema la contraddizione. (-> sezione 6.2)

6. Una riga ha $N_c = 10^6$ cm$^{-3}$ e un' altra $N_c = 10^2$. Quale delle due ha
l' $A_{21}$ piu' grande, e come lo sai? (-> sezione 4)

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5.5 - Righe di ricombinazione otticamente sottili

Dispensa: cap. 5.5 (pag. 63-66).

Capitolo a mattoncini nella prima meta' (il fotone di cattura e' un punto in cui e'
facile incartarsi), poi si tira dritto fino al decremento di Balmer.

Nel capitolo 5 l' atomo restava intero e l' elettrone saliva di
livello. Qui succede un' altra cosa: l' atomo e' gia' ionizzato, e l' elettrone e' libero.
Poi lo riacchiappa.

Da questo processo nascono le righe piu' importanti che si osservano in una nebulosa.

1. Cosa succede, in due passi

Uno ione cattura un elettrone libero. L' elettrone atterra su un certo livello $n$, e da li'
scende a cascata verso il basso, facendo vari salti.

Un fotone viene emesso in ogni passaggio:

  1. nella cattura, quando l' elettrone passa da libero a legato
  2. in ogni gradino della discesa

SIGNIFICATO FISICO: qui si parla di ioni ed elettroni in generale, vale per qualsiasi
specie. Pero' sperimentalmente si guarda l' idrogeno, per tre motivi: compone il 90% degli atomi di
una nebulosa quindi le sue righe sono le piu' forti; ha un elettrone solo quindi i conti si fanno;
e le sue righe di ricombinazione cadono nel visibile.

2. Il fotone di cattura

Che energia ha il fotone emesso nella cattura? Per l' idrogeno:

$$h\nu = E_{cin} + \frac{13.6}{n^2}$$

$h\nu$ $\quad$ energia del fotone emesso

$E_{cin}$ $\quad$ energia cinetica che l' elettrone aveva prima di essere catturato

$\frac{13.6}{n^2}$ $\quad$ energia di legame del livello dove atterra, cioe' quanto servirebbe per
strapparlo di nuovo da li'

2.1 Perché si sommano

Perche' lo zero della scala di energia e' l' elettrone libero e fermo.

Il fotone si porta via tutto il dislivello, che e' la somma dei due pezzi.

2.2 Esempio numerico

Uno ione cattura un elettrone che aveva 2 eV di energia cinetica, e l' elettrone si mette su $n=3$:

$$h\nu = 2 + \frac{13.6}{9} = 2 + 1.51 = 3.51 \; eV$$

2.3 La conseguenza: la cattura fa un continuo

$E_{cin}$ puo' valere qualsiasi cosa, perche' l' elettrone libero non ha livelli quantizzati:
puo' arrivare con la velocita' che gli pare.

Quindi il fotone di cattura puo' avere qualsiasi energia (sopra un minimo), e non fa una riga:
fa un continuo. Se ne parla nel capitolo 6.

cattura -> continuo. cascata -> righe.

Da qui in avanti ci si occupa solo della cascata.

3. Le assunzioni

Prima di scrivere l' equazione della cascata si fanno sei assunzioni. Non sono formalita': ognuna
toglie di mezzo un pezzo di fisica che in una nebulosa davvero non c'e'.

1. Non siamo in equilibrio termodinamico. Le collisioni sono troppo rare. Quindi Boltzmann non
si usa, e il bilancio va fatto a mano.

2. Si trascura l' emissione stimolata. Sarebbe: un atomo gia' eccitato viene colpito da un
fotone della sua stessa energia e ne emette un secondo identico. Serve un campo di radiazione
intenso, e qui il campo e' diluito.

3. I livelli $n>1$ non sono popolati per collisione. A $10^4$ K gli elettroni hanno 0.86 eV,
mentre per portare l' idrogeno su $n=3$ ne servono 12.1. Non ce la fanno proprio.

4. Tutti gli atomi che vengono ionizzati stavano sul fondamentale. Conseguenza della 3: se
nessuno e' eccitato, chi viene ionizzato parte per forza da $n=1$.

5. Siamo in equilibrio statistico. Le popolazioni non cambiano nel tempo: i processi atomici
sono velocissimi, la nebulosa cambia su scale di migliaia di anni.

6. Un livello $n$ si popola solo per ricombinazione diretta o come gradino di una cascata. Non
ci sono altre strade.

4. L'equazione

Con quelle assunzioni, per ogni livello $n$ si scrive:

$$(\text{quello che popola } n) = (\text{quello che spopola } n)$$

$$N_e N_p \alpha_n + \sum_{m>n}^{\infty} N_m A_{mn} = N_n \sum_{k

$N_e N_p \alpha_n$ $\quad$ le ricombinazioni dirette su $n$: serve un elettrone e un protone che
si incontrino, da cui il prodotto

$\sum_{m>n} N_m A_{mn}$ $\quad$ le cascate dall' alto: tutti quelli che stanno sopra e scendono
su $n$

$N_n \sum_{kpartenze: tutti quelli che stanno su $n$ e se ne vanno piu'
in giu'

4.1 Perché non si risolve a mano

Guardiamo il secondo termine: per sapere quanti atomi ci sono su $n$, devo sapere quanti ce ne sono su
tutti i livelli sopra. E per sapere quello, devo sapere quanti ce ne sono ancora piu' sopra.

E' un sistema infinito di equazioni accoppiate, ognuna che dipende da quelle di sopra. Chi
programma lo riconosce subito: e' un loop di dipendenze che non si chiude mai.

Quindi si tronca a un $n$ massimo ragionevole e si risolve numericamente, al calcolatore.

4.2 Il risultato: $\alpha_{eff}$

Il punto e' che il risultato di quel conto non serve rifarlo ogni volta: si fa una volta, si
tabula, e si usa. Il pacchetto che ne esce si chiama coefficiente di ricombinazione efficace:

$$\alpha_{eff}(\text{riga}, T_e) \qquad [\text{cm}^3 \text{s}^{-1}]$$

Si legge come una funzione con due argomenti e un valore di ritorno:

in ingresso:

$riga$ $\quad$ quale transizione di quale ione (H$\alpha$, H$\beta$, ...)

$T_e$ $\quad$ la temperatura elettronica del gas

in uscita: quanti fotoni di quella riga vengono prodotti in media per ogni ricombinazione.

Nota subito così de botto: tutta la complicazione del sistema infinito e' finita li' dentro.
Non e' una scorciatoia: e' che il conto e' stato fatto sul serio da qualcun altro, e il risultato e'
un numero tabulato. A te serve solo saper dire cosa ci sta dentro e cosa ne esce.

5. Dall'emissività all'intensità

Con $\alpha_{eff}$ in mano, l' intensita' della riga e':

$$I_{nm} = \alpha_{eff} \frac{h \nu_{nm}}{4\pi} \int N_e^2 \, dr$$

$h\nu_{nm}$ $\quad$ energia di un fotone di quella riga

$4\pi$ $\quad$ perche' l' emissione e' isotropa, distribuita su tutto l' angolo solido

$\int N_e^2 dr$ $\quad$ l' integrale lungo la linea di vista, si chiama emission measure: dice
quanto gas stai attraversando e quanto e' denso

5.1 Perché $N_e^2$

Stesso motivo del capitolo 5: per ricombinare serve che un elettrone
e un protone si incontrino. Due densita' che si moltiplicano, quindi il quadrato.

5.2 Perché qui non serve il trasporto radiativo

Ed e' il motivo per cui il capitolo si intitola "otticamente sottili".

Il gas e' cosi' rarefatto che $\tau \ll 1$ nelle righe: ogni fotone prodotto esce senza essere
riassorbito. Quindi non serve risolvere l' equazione del trasporto del
capitolo 3: quello che viene emesso e' esattamente quello che osservi.

E' una semplificazione enorme, ed e' un regalo che fa la bassa densita'.

6. Il decremento di Balmer

Adesso il trucco che rende tutto questo utile davvero.

Prendo due righe di Balmer, scrivo l' intensita' di ciascuna con la formula di sopra, e ne faccio
il rapporto:

$$\frac{I(H\alpha)}{I(H\beta)} = \frac{\nu_{H\alpha}}{\nu_{H\beta}} \frac{\alpha^{eff}_{H\alpha}}{\alpha^{eff}_{H\beta}} \approx 2.86$$

Guarda cosa e' sparito: l' angolo solido e l' emission measure. Tutta la parte geometrica, che
dipendeva da quanto e' grande la nebulosa, da quanto e' densa e da quanto e' lontana, si
semplifica.

Resta un numero che dipende solo da fisica atomica e, debolmente, da $T_e$.

Si chiama decremento di Balmer, e vale 2.86 (assumendo $T_e = 10^4$ K).

6.1 A cosa serve

E' un rapporto noto in partenza, uguale per tutte le nebulose. Quindi diventa un metro
campione:

se misuro $H\alpha/H\beta$ e mi viene piu' di 2.86, vuol dire che qualcosa ha attenuato
$H\beta$ piu' di $H\alpha$.

E siccome $H\beta$ e' piu' blu di $H\alpha$, il colpevole e' qualcosa che assorbe piu' nel blu:
la polvere interstellare. Il gas e' arrossato.

Dal quanto ti scosti da 2.86 tiri fuori quanta polvere c'e'. Se ne parla nel
capitolo 5.6.

NOTA BENE: questa struttura torna un sacco di volte nel corso, e
conviene riconoscerla subito perche' ritorna: fai il rapporto fra due righe e la geometria se ne
va. Quello che resta dipende solo dalla fisica, quindi diventa uno strumento di misura. Lo stesso
identico trucco fa funzionare i diagnostici di [O III] e [S II] nel
capitolo 5.7.

7. In breve

Domande tattiche

1. Un elettrone viene catturato su $n=3$. Il fotone che esce dipende da quanto andava veloce
l' elettrone? E il livello su cui atterra, dipende dalla sua velocita'? Sono due domande diverse.
(-> sezioni 2 e 2.1)

2. Dalla cattura esce un continuo, dalla cascata escono righe. Cos' e' che fa la differenza?
(-> sezione 2.3)

3. L' equazione dell' equilibrio statistico non si risolve a mano. Qual e' esattamente
l' ostacolo? (-> sezione 4.1)

4. Misuri $H\alpha/H\beta = 4.1$ invece di 2.86. Cosa concludi, e come fai a essere sicuro
che non dipenda dal fatto che quella nebulosa e' piu' grande o piu' vicina? (-> sezioni 6 e 6.1)

5. Perche' l' intensita' va come $N_e^2$ e non come $N_e$? (-> sezione 5.1)

6. In questo capitolo il trasporto radiativo del capitolo 3 non si usa
mai. Come mai possiamo permettercelo? (-> sezione 5.2)

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5.6 - Estinzione da polvere

Dispensa: cap. 5.6 (pag. 66-69).

Capitolo in PODS nella seconda meta': il problema di misurare la polvere sembra
impossibile (servirebbe conoscere lo spettro vero), e la via d' uscita e' un' idea sola.

Fin qui si e' sempre parlato di gas. Ma nel mezzo interstellare, oltre al gas, ci sono i grani di
polvere: silicati, grafite, alluminio, ferro.

E questi grani rovinano tutto:

quando guardo una stella o una nebulosa non vedo il suo spettro vero. La luce ha attraversato
uno strato di polvere e mi arriva indebolita e con la forma cambiata.

Questo capitolo serve a due cose: capire come la polvere cambia lo spettro, e imparare a
misurarla per poterla togliere.

1. Cosa fa la polvere

Due cose, e vanno tenute distinte anche se producono lo stesso effetto:

assorbe: il grano si prende il fotone, si scalda, e riemette nell' infrarosso

diffonde (scattering): il grano devia il fotone in un' altra direzione

Dal mio punto di vista il risultato e' lo stesso - quel fotone non mi arriva - e infatti i due
processi si mettono insieme in un unico coefficiente. Per questo si parla di estinzione e non
di assorbimento: e' la somma delle due cose.

2. Come si scrive l'attenuazione

E' la stessa equazione del capitolo 3, ma senza il termine di emissione: la
polvere lungo il cammino toglie luce e basta (quello che riemette lo riemette nell' infrarosso,
quindi non torna nella banda che stai guardando).

$$dI_\lambda = -k_\lambda I_\lambda \, ds = -I_\lambda \, d\tau_\lambda$$

che integrata da':

$$I_\lambda = I_{0,\lambda} \, e^{-\tau_\lambda}$$

$I_{0,\lambda}$ $\quad$ lo spettro intrinseco, quello che la sorgente ha davvero

$I_\lambda$ $\quad$ quello che misuro io

$\tau_\lambda = \int k_\lambda ds$ $\quad$ la profondita' ottica della polvere lungo il cammino

Niente di nuovo, e' l' equazione del trasporto con $S = 0$.

3. In magnitudini

Gli astronomi non lavorano con $e^{-\tau}$ ma con le magnitudini, quindi traduciamo. Per
definizione di magnitudine:

$$I_\lambda = I_{0,\lambda} \, 10^{-0.4 A_\lambda}$$

Confrontando i due esponenti si ottiene la conversione, che e' solo un cambio di base del
logaritmo:

$$A_\lambda = 2.5 \log e \cdot \tau_\lambda = 1.086 \, \tau_\lambda$$

$A_\lambda$ $\quad$ estinzione in magnitudini a quella lunghezza d' onda

Attenzione: il coefficiente e' 1.086, cioe' praticamente 1. Quindi:
$\tau = 1$ vale circa una magnitudine di estinzione. E' una di quelle coincidenze comode che
conviene tenere in testa, perche' permette di passare da un linguaggio all' altro a mente.

4. Perché si parla di arrossamento

Il punto e' che $\tau_\lambda$ dipende dalla lunghezza d' onda, e dipende parecchio: la polvere
assorbe molto piu' nel blu che nel rosso.

Studiando coppie di stelle dello stesso tipo spettrale a distanze diverse si scopre che la
dipendenza si puo' fattorizzare:

$$\tau_\lambda = c \cdot f(\lambda)$$

$c$ $\quad$ dipende da quanta polvere c'e' lungo quella direzione

$f(\lambda)$ $\quad$ la legge di estinzione: la forma, che e' sempre la stessa

Occhio a questo: questa fattorizzazione e' quello che rende il problema risolvibile.
Vuol dire che la polvere ha sempre lo stesso "colore", cambia solo quanta ce n'e'. Quindi mi basta
misurare un numero ($c$) e so l' attenuazione a tutte le lunghezze d' onda.

4.1 La legge standard

La piu' usata e' quella di Cardelli, Clayton & Mathis 1989 (CCM89), normalizzata alla banda V
(5500 A):

$$\frac{A(\lambda)}{A(V)} = a(x) + \frac{b(x)}{3.1}, \qquad x = \frac{10000}{\lambda} - 1.82$$

$x$ $\quad$ numero d' onda traslato, vale zero in banda V

$a(x), b(x)$ $\quad$ due polinomi, scritti per esteso nella dispensa

$3.1$ $\quad$ il valore standard di $R_V = A(V)/E(B-V)$ per il mezzo interstellare diffuso

4.2 Quanto arrossa, in numeri

Se $A(V) = 1$ magnitudine, del flusso originale sopravvive:

banda quanto passa
U (ultravioletto) 23%
V (visibile) 40%
I (infrarosso vicino) 63%

Lo spettro esce tutto piu' debole ma sbilanciato verso il rosso, e la stella sembra piu' fredda
di quello che e'. Questo e' l' arrossamento, e si quantifica con l' eccesso di colore:

$$E(B-V) = (B-V)_{oss} - (B-V)_0 = \frac{A(V)}{3.1}$$

5. Come si misura: il decremento di Balmer

E qui torna il trucco del capitolo 5.5, ed e' il pezzo che rende utile tutto
il resto.

Il problema di misurare l' estinzione e' che dovrei conoscere lo spettro intrinseco, e non lo
conosco: e' quello che sto cercando di ricostruire. Serve qualcosa di cui so gia' la risposta.

Quel qualcosa e' il rapporto fra due righe di ricombinazione:

$$\left( \frac{I_{H\alpha}}{I_{H\beta}} \right)_0 \approx 2.86$$

Lo so gia', perche' nel capitolo 5.5 si e' visto che nel rapporto la
geometria si semplifica: non dipende da quanto e' grande la nebulosa, quanto e' densa o quanto e'
lontana. Vale per tutte le nebulose.

5.1 Il ragionamento

  1. so che quel rapporto deve valere 2.86
  2. lo misuro, e mi viene per esempio 4.2
  3. la differenza me l' ha messa la polvere: $H\beta$ (4861 A, blu) e' stata attenuata piu' di
    $H\alpha$ (6563 A, rosso)
  4. da quanto mi sono scostato ricavo quanta polvere c'e'

Mettendo insieme l' attenuazione delle due righe con la CCM89:

$$\frac{I_{H\alpha}}{I_{H\beta}} = \left( \frac{I_{H\alpha}}{I_{H\beta}} \right)_0 10^{0.1386 \, A(V)}$$

e invertendo:

$$A(V) = 7.215 \, \log \frac{(I_{H\alpha}/I_{H\beta})_{misurato}}{2.86}$$

5.2 Perché questo metodo è comodo

Non serve sapere niente della nebulosa. Non quanto e' lontana, non quanto e' grande, non quanto
gas contiene. Tutta quella roba sta sia sopra che sotto nel rapporto e se ne va.

Servono solo due cose: il rapporto misurato fra due righe che escono dallo stesso posto, e il
valore teorico che quel rapporto dovrebbe avere.

Vale la pena dirlo: e' il principio generale di tutta la spettroscopia diagnostica.
Un rapporto fra due righe della stessa sorgente e' un numero che non dipende dalla sorgente, e
quindi si puo' confrontare con la teoria. Ogni volta che nel corso salta fuori uno strumento di
misura - questo, il termometro [O III], il densimetro [S II] - sotto c'e' sempre lo stesso trucco.

5.3 Altre coppie di righe

Si puo' fare con qualsiasi coppia, cambia solo il coefficiente davanti:

coppia coefficiente
$H\alpha / H\beta$ 7.215
$H\beta / H\gamma$ 13.713
$H\beta / H\delta$ 9.362

Il coefficiente cresce quando le due righe sono piu' vicine in lunghezza d' onda: la
differenza di estinzione fra loro e' piu' piccola, quindi va amplificata di piu' per tirarne fuori
lo stesso $A(V)$. Che vuol dire anche che la misura e' piu' rumorosa.

I rapporti teorici della serie si danno sempre rispetto a $H\beta$:
$H\gamma/H\beta \approx 0.47$, $H\delta/H\beta \approx 0.26$, e cosi' via.

6. In breve

Domande tattiche

1. Per misurare quanto la polvere ha attenuato una sorgente servirebbe sapere com' era la
sorgente prima. Ma non lo sai. Come se ne esce? (-> sezione 5)

2. Perche' la polvere fa sembrare una stella piu' fredda di quello che e'? (-> sezione 4.2)

3. Il metodo del decremento di Balmer funziona senza sapere niente della nebulosa: ne' distanza,
ne' dimensione, ne' quanto gas contiene. Da dove viene questa liberta'? (-> sezione 5.2, e
capitolo 5.5)

4. Perche' il coefficiente per la coppia $H\beta/H\gamma$ (13.7) e' piu' grande di quello per
$H\alpha/H\beta$ (7.2)? E cosa vuol dire in pratica sulla qualita' della misura? (-> sezione 5.3)

5. Una profondita' ottica $\tau = 2$ quante magnitudini di estinzione fa, all' incirca?
(-> sezione 3)

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5.7 - Righe proibite: perche' esistono e come si usano

Dispensa: cap. 5.7 (pag. 69-78).

Prima meta' in PODS (il mistero storico del nebulio, vedi il
Di cosa parla tutto il corso), seconda meta' a mattoncini sui due diagnostici.

Nelle nebulose si osservano righe intensissime che in laboratorio non si erano mai viste. Per un po'
si e' pensato che venissero da un elemento sconosciuto, e gli era stato dato pure un nome
("nebulio"). Poi si e' capito che erano righe di elementi normalissimi, che pero' sulla Terra
non si riescono a produrre.

Questo capitolo spiega perche', e poi mostra la cosa piu' utile del corso: come usarle per
misurare temperatura e densita' di un gas lontano anni luce.

1. Cosa vuol dire "proibita"

Una transizione e' proibita quando viola le regole di selezione del dipolo elettrico, che sono
il meccanismo con cui avvengono le transizioni normali.

Ma proibita non vuol dire impossibile: l' atomo puo' comunque scendere per altre vie, il
quadrupolo elettrico o il dipolo magnetico. Sono canali molto meno efficienti, ma esistono.

Il risultato e' un $A_{21}$ ridicolmente piccolo:

tipo di transizione $A_{21}$
permessa (dipolo elettrico) $\sim 10^8$ s$^{-1}$
proibita $\sim 10^{-2}$ s$^{-1}$

Dieci ordini di grandezza.

Questa e' la parte che conta: il nome "proibita" e' fuorviante e conviene tradurselo. Sono righe
improbabili, o pigre: l' atomo ci mette secondi o minuti a fare quello che di solito fa in
$10^{-8}$ secondi. Non e' che non lo fa: e' che se la prende comoda.

Notazione: le righe proibite si scrivono fra parentesi quadre, tipo [O III].

2. Il livello metastabile

Un livello si dice metastabile quando l' unica via d' uscita e' una transizione proibita.

L' elettrone che ci finisce sopra ci resta parcheggiato secondi o minuti, invece dei
$10^{-8}$ secondi di un livello normale.

2.1 Perché stanno sempre a pochi eV

Questa e' una domanda che uno dovrebbe farsi, perche' non e' una coincidenza.

I livelli metastabili stanno tipicamente pochi eV sopra il fondamentale, e il motivo e' che
nascono dalla stessa configurazione elettronica del fondamentale: gli elettroni sono negli
stessi orbitali, solo con spin o momenti angolari organizzati diversamente.

Da qui seguono due cose insieme:

  1. costa poco arrivarci, perche' riorganizzare gli spin senza cambiare orbitale non richiede
    molta energia -> pochi eV
  2. e' proibito tornare giu', perche' una transizione di dipolo elettrico dentro la stessa
    configurazione non e' permessa

Nota subito così de botto: le due cose hanno la stessa causa. Sono a bassa energia perche'
condividono la configurazione col fondamentale, e sono proibite per lo stesso motivo. Non sono
due proprieta' separate che capitano insieme.

E la prima e' proprio quello che serve: pochi eV vuol dire raggiungibili per urto a $10^4$ K,
dove gli elettroni hanno 0.86 eV. Il fondamentale dell' idrogeno, che sta a 10.2 eV dal primo
livello eccitato, non lo raggiunge nessuno.

3. Perché si vedono solo nelle nebulose

Adesso si mette insieme tutto quello che si e' costruito nel
capitolo 5.

La densita' critica e':

$$N_c = \frac{A_{21}}{Q_{21}}$$

Se $A_{21}$ e' minuscolo, allora $N_c$ e' bassissima. Per le righe proibite $N_c$ sta intorno
a $10^2 - 10^6$ cm$^{-3}$, che e' un vuoto spinto per gli standard terrestri.

ambiente $N_e$ cosa succede
laboratorio, anche in vuoto $\gg N_c$ quenching: l' urto arriva prima dell' emissione
fotosfera stellare ($10^{14}$) $\ggg N_c$ quenching totale
nebulosa ($10^2 - 10^4$) $\ll N_c$ l' atomo fa in tempo a emettere

In una nebulosa l' atomo eccitato puo' starsene tranquillo per minuti: tanto non passa nessuno a
disturbarlo.

3.1 La conseguenza da tenere

vedere una riga proibita e' gia' la prova che il gas e' rarefatto.

Non serve nessuna misura ulteriore: la sua sola presenza nello spettro dice che $N_e < N_c$.

3.2 Sono sempre righe di emissione

E lo si puo' argomentare in due modi, che poi sono lo stesso.

Guardando come si popolano: il livello metastabile si popola per urto, non per
assorbimento di fotoni. Un atomo nel fondamentale che vede passare un fotone della giusta energia
non lo assorbe, perche' quella transizione e' proibita in tutte e due i versi.

Guardando il criterio del capitolo 3: nella nebulosa $I_0 \approx 0$ e il
gas emette, quindi $I < S$, quindi emissione.

4. E adesso il bello: si usano per misurare

Il fatto che si vedano solo nelle nebulose sarebbe una curiosita'. Quello che le rende importanti
e' che dallo spettro si tirano fuori temperatura e densita' del gas.

Il trucco e' sempre quello del capitolo 5.5: si fa il rapporto fra due
righe, cosi' la geometria si semplifica e resta solo la fisica.

E la fisica che resta e' diversa a seconda di come sono messi i livelli:

se i due livelli sono... il rapporto sente... esempio
a energie molto diverse la temperatura [O III]
a energie quasi uguali la densita' [S II]

Adesso i due casi uno per volta.

5. [O III], il termometro

L' ossigeno ionizzato due volte ha due livelli metastabili, e stanno a energie ben separate:

livello energia
1 - fondamentale 0
2 - metastabile 2.48 eV
3 - metastabile 5.34 eV

Le transizioni possibili sono quattro (la $2 \to 1$ finisce su due sottolivelli del fondamentale):

transizione riga usata?
$3 \to 1$ 2321 A no, e' nell' UV
$3 \to 2$ 4363 A si'
$2 \to 1$ 4959 A si'
$2 \to 1$ 5007 A si'

E il rapporto che si usa e':

$$R_{[O \, III]} = \frac{I_{4959} + I_{5007}}{I_{4363}}$$

5.1 Perché è un termometro

Le due righe al numeratore partono dal livello 2 (2.48 eV), quella al denominatore parte dal
livello 3 (5.34 eV).

Per popolare il livello 3 serve un elettrone piu' energetico che per popolare il livello 2. E
quanti elettroni energetici ci sono dipende solo dalla temperatura.

Quindi:

Nel rapporto la geometria se ne va e resta essenzialmente il fattore di Boltzmann della differenza
di energia:

$$R \sim e^{\Delta\chi / k_B T}$$

Per dare l' idea di quanto sia sbilanciato: eccitare al livello 2 e' circa 200 volte piu'
probabile che eccitare al livello 3.

5.2 Perché è cieco alla densità

Questa e' la parte che rende [O III] uno strumento pulito, e va detta esplicitamente.

Le densita' critiche dei suoi livelli metastabili stanno molto sopra il range nebulare. Quindi
in una nebulosa siamo sempre e comunque nel regime $N_e \ll N_c$ per tutte e tre le righe, e la
densita' non entra nel rapporto.

$R_{[O \, III]}$ misura la temperatura e non si fa disturbare da nient' altro.

6. [S II], il densimetro

Lo zolfo ionizzato una volta ha anche lui due livelli metastabili, ma stanno praticamente alla
stessa energia:

riga energia del livello
6716 A 1.845 eV
6731 A 1.841 eV

Quattro millesimi di eV di differenza, contro i 2.9 eV che separavano i due livelli di [O III].

Il rapporto che si usa e':

$$R_{[S \, II]} = \frac{I_{6716}}{I_{6731}}$$

6.1 Perché la temperatura non conta

Il fattore di Boltzmann fra i due livelli e' $e^{-0.004/k_BT}$, e a $10^4$ K vale praticamente 1.

Cioe': un elettrone che ha abbastanza energia per popolare uno dei due, ne ha abbastanza anche per
popolare l' altro. La temperatura non riesce a distinguerli.

6.2 Perché la densità invece conta

Perche' i due livelli hanno $A_{21}$ diversi, e quindi densita' critiche diverse:

riga $N_c$
6716 ~1400 cm$^{-3}$
6731 ~3600 cm$^{-3}$

E quei due numeri stanno dentro il range delle densita' nebulari, mentre quelli di [O III]
stanno molto piu' su.

Alzando la densita', la transizione piu' lenta (quella con $N_c$ piu' bassa, la 6716) viene
spenta per prima dagli urti, mentre l' altra regge ancora un po'. Quindi il rapporto cala.

regime $R_{[S \, II]}$
$N_e \ll N_c$ (bassa densita') ~1.4
$N_e \gg N_c$ (alta densita') ~0.4

6.3 Attenzione: funziona solo dentro una finestra

Vale la pena dirlo perche' e' il limite del metodo.

Se la densita' e' troppo bassa, nessuna delle due righe e' disturbata: si comportano uguali e
il rapporto e' piatto a 1.4.

Se la densita' e' troppo alta, tutte e due sono spente allo stesso modo: il rapporto e' piatto
a 0.4.

Il rapporto misura qualcosa solo nella zona in mezzo, dove una e' spenta e l' altra no. Ed e'
esattamente il motivo per cui serve che le $N_c$ cadano dentro il range che si vuole misurare.

In pratica: e' il principio di qualsiasi strumento di misura. Un termometro da
febbre non serve a misurare la temperatura del forno. Uno strumento funziona nel range in cui la
grandezza che misuri fa cambiare davvero quello che leggi.

7. Il quadro dei due diagnostici

[O III] [S II]
separazione dei livelli 2.9 eV 0.004 eV
$N_c$ rispetto al range nebulare molto sopra dentro
il rapporto sente la temperatura la densita'
righe (4959+5007)/4363 6716/6731
valori $R$ grande = freddo 1.4 = rarefatto, 0.4 = denso

Usati insieme danno temperatura e densita' della stessa nebulosa: [O III] misura $T_e$ senza
sentire la densita', poi con quella $T_e$ nota si legge [S II] per avere $N_e$.

8. In breve

Domande tattiche

1. "Proibita" non vuol dire impossibile. Allora cosa vuol dire, esattamente, e che numero
cambia? (-> sezione 1)

2. I livelli metastabili stanno sempre a pochi eV sopra il fondamentale. Non e' una
coincidenza: da cosa dipende? E perche' proprio quella stessa cosa li rende proibiti?
(-> sezione 2.1)

3. Vedi una riga proibita nello spettro. Prima ancora di misurare qualsiasi cosa, cosa sai
gia' di quel gas? (-> sezione 3.1)

4. [O III] misura la temperatura e [S II] la densita'. Cos' e' che rende uno un termometro e
l' altro un densimetro? La risposta e' una sola proprieta', detta in due modi. (-> sezioni 5.1 e 6.2)

5. Perche' [O III] non funziona anche come densimetro, visto che ha pure lui delle $N_c$?
(-> sezione 5.2)

6. Misuri $R_{[S\,II]} = 1.4$. Puoi dire quanto vale la densita', o solo qualcosa di piu'
debole? (-> sezione 6.3)

7. Le righe proibite si popolano per urto e non per assorbimento. Prova a spiegare perche'
usando le stesse regole di selezione della sezione 1. (-> sezione 3.2)

torna su

6 - I continui

Dispensa: cap. 6 (pag. 79-92).

Capitolo a mattoncini, ma corti: c'e' una regola madre e tre casi che le obbediscono.
Il pezzo delicato e' il gradino, e li' si va piano.

Fin qui si sono guardate le righe. Ma in uno spettro, sotto le righe, c'e' sempre un continuo:
emissione a tutte le lunghezze d' onda, senza salti.

Da dove viene?

1. La regola madre

Tutto il capitolo sta in una riga:

$$\text{elettrone legato} \rightarrow \text{riga} \qquad\qquad \text{elettrone libero} \rightarrow \text{continuo}$$

Perche': se l' elettrone e' attaccato all' atomo puo' stare solo su livelli discreti, quindi i
salti sono discreti e quello che esce sono righe.

Se invece e' libero, la sua energia cinetica puo' valere qualsiasi cosa (segue Maxwell-Boltzmann
e dipende da $T_e$). Quindi i fotoni che escono possono avere qualsiasi energia: viene fuori un
continuo.

Da ricordare: questa regola risolve da sola meta' delle domande sul capitolo. Se
ti chiedono da dove viene un continuo, la risposta comincia sempre con "c'e' un elettrone libero in
gioco".

1.1 Chi è che irraggia

Sempre e solo l' elettrone. Il nucleo, in pratica, non irraggia.

Il motivo e' il rapporto di massa. Il protone pesa 1836 volte l' elettrone, quindi a parita' di
forza sente un' accelerazione 1836 volte piu' piccola. E la potenza irraggiata va come
l' accelerazione al quadrato (formula di Larmor), quindi il protone irraggia un fattore
$\sim 3 \times 10^6$ in meno.

I nuclei fanno da sorgente di campo elettrico e restano li' praticamente fermi.

2. Come si ordinano i tre casi

Il modo piu' pulito di tenerli a mente e' guardare com'e' l' elettrone prima e dopo:

processo prima dopo continuo
free-free libero libero liscio, nessuna soglia
free-bound libero legato con gradini
sincrotrone libero libero legge di potenza, non termico

3. Free-free (bremsstrahlung)

L' elettrone libero passa vicino a uno ione. Il campo dello ione lo devia e lo frena, lui perde un
pezzo di energia cinetica e la butta fuori come fotone.

Prima era libero, dopo e' ancora libero: cambia solo la velocita'.

Perche' e' liscio: l' energia persa nella deviazione puo' essere qualunque, dipende da quanto
vicino ci passa e da quanto andava veloce. Quindi non ci sono ne' soglie ne' gradini.

3.1 Il taglio ad alta frequenza

C'e' pero' un limite ovvio: un elettrone non puo' emettere un fotone piu' energetico della sua
energia cinetica.

$$\frac{1}{2} m_e v^2 \geq h\nu$$

Integrando su una maxwelliana con quel vincolo, viene fuori un esponenziale:

$$\varepsilon_{ff} \propto \frac{N_e N_i}{T_e^{1/2}} \, g_{ff} \, e^{-h\nu / k_B T_e}$$

$g_{ff}$ $\quad$ fattore di Gaunt, una correzione quantistica, sta intorno a 1.2-1.5

L' esponenziale dice che sopra $k_B T_e$ il continuo crolla: gli elettroni non hanno abbastanza
energia per fare quei fotoni.

3.2 Le dipendenze, che sono due formule diverse

Qui e' facile fare confusione, quindi separiamo:

monocromatica (a una data $\nu$): va come $N_e^2$ e come $T_e^{-1/2}$, ma c'e' anche
l' esponenziale che cresce con $T_e$. In un certo intervallo l' esponenziale vince, e
$\varepsilon_{ff}$ sale con la temperatura.

integrata su tutte le frequenze: l' esponenziale e' gia' stato integrato via e resta

$$\varepsilon_{ff} \propto N_e N_i \, T_e^{1/2}$$

Cioe' il segno dell' esponente di $T_e$ si rovescia fra le due. Vale la pena sapere di quale
delle due si sta parlando.

3.3 Nel radio

Il free-free e' un processo puramente collisionale, quindi siamo in LTE e vale
$\varepsilon_{ff} = k_{ff} B_\nu(T_e)$.

Nel radio ($h\nu \ll k_B T_e$) la profondita' ottica va come

$$\tau_{ff} \propto T_e^{-1.35} \, \nu^{-2.1} \, EM$$

dove $EM = \int N_e N_i \, dr$ e' l' emission measure.

L' esponente negativo su $\nu$ dice che a frequenza bassa il gas diventa opaco. Una nube tipica
diventa otticamente spessa sotto qualche centinaio di MHz, e i due regimi danno cose diverse:

regime andamento cosa ci tiri fuori
$\tau \ll 1$ (sopra ~1 GHz) $I_\nu \propto T_e^{-0.35} \nu^{-0.1}$, quasi piatto la densita' elettronica
$\tau \gg 1$ (sotto ~1 GHz) $I_\nu \propto T_e \, \nu^2$ la temperatura

4. Free-bound (continuo di ricombinazione)

Qui l' elettrone libero viene catturato da uno ione e finisce legato su un livello $n$. E' il
contrario esatto della fotoionizzazione.

E' lo stesso processo di cui si parla nel capitolo 5.5: li' interessava la
cascata, qui interessa il fotone della cattura.

$$h\nu = E_{cin} + \frac{13.6}{n^2} \; eV$$

4.1 Perché ha i gradini e il free-free no

E' la differenza chiave fra i due, quindi la scrivo lenta.

$E_{cin}$ puo' essere qualsiasi cosa, ma non puo' essere negativa. Quindi anche se l' elettrone
arriva fermissimo, il fotone vale almeno $13.6/n^2$.

ogni livello $n$ ha la sua energia minima, e sotto quella soglia le catture su quel livello
non producono niente.

Quindi il continuo di ricombinazione non e' liscio: e' fatto di pezzi che si accendono uno alla
volta.

$n$ $\chi_n$ $\lambda$ della soglia serie
1 13.6 eV 912 A Lyman
2 3.4 eV 3648 A Balmer
3 1.5 eV 8208 A Paschen

4.2 Come si legge un gradino

Prendi il salto di Balmer, a 3648 A, e arrivaci da destra, cioe' da lunghezze d' onda piu'
lunghe (fotoni meno energetici):

Un canale nuovo si apre di colpo, e l' emissione salta su. Quello e' il gradino.

Da tenere: il gradino sembra un difetto del grafico e invece e' roba da
leggere. La sua posizione ti
dice quale livello si e' aperto, e la sua altezza quanto quel livello viene popolato. E' il modo in
cui il continuo si porta dietro la struttura discreta dell' atomo.

4.3 Chi vince fra free-free e free-bound

Nelle nebulose vince la ricombinazione, e c'e' un numero preciso: il free-free supera il
free-bound solo sopra

$$T_e > 3.15 \times 10^5 \; K$$

Le nebulose stanno a $10^4$ K, cioe' una trentina di volte sotto. Quindi nel visibile e nell' UV il
continuo che vedi e' quello di ricombinazione.

4.4 Un risultato che serve dopo

La sezione d' urto di ricombinazione va come $1/v^2$: ricombinano preferenzialmente gli elettroni
lenti, mentre la fotoionizzazione ne libera di veloci.

Conseguenza: anche in equilibrio di ionizzazione, con tante ionizzazioni quante ricombinazioni, il
bilancio energetico netto e' un riscaldamento del gas. Serve nel
capitolo 9.

5. Il continuo a due fotoni

C'e' un terzo continuo, tipico delle nebulose, e nasce da una transizione proibita.

L' idrogeno che finisce sul livello 2s non puo' scendere a 1s emettendo un fotone solo: quella
transizione e' proibita. Quello che fa e' emettere due fotoni che si spartiscono i 10.2 eV in
tutti i modi possibili.

Siccome la ripartizione e' continua, quello che ne esce e' un continuo largo sotto 1216 A.

Qui si nota una cosa: e' un altro caso in cui il gas rarefatto fa vedere qualcosa che
altrove non si vedrebbe. A densita' alta il 2s verrebbe spostato per urto prima di riuscire a
fare il doppio decadimento, quindi questo continuo si spegnerebbe. Stessa logica delle righe
proibite del capitolo 5.7.

6. Sincrotrone

Caso completamente diverso dagli altri: qui non serve nessuno ione, serve un campo magnetico.

Elettroni relativistici dentro un campo $B$: la forza di Lorentz li fa spiralare attorno alle
linee di campo, e una carica accelerata irraggia.

$$\nu_c = \frac{3}{2} \frac{\gamma^2 e B \sin\theta}{2\pi m_e} \propto E^2 B$$

$\nu_c$ $\quad$ frequenza critica, dove il singolo elettrone emette quasi tutto

$\theta$ $\quad$ pitch angle, l' angolo fra la velocita' e il campo

L' emissione esce in un cono di semiapertura $1/\gamma$: piu' l' elettrone e' veloce, piu' il
fascio e' stretto.

6.1 Perché viene una legge di potenza

Il singolo elettrone da solo non basta: bisogna sommare su tutta la popolazione. E si assume che
gli elettroni abbiano una distribuzione in energia a legge di potenza (come i raggi cosmici):

$$N_e(E) \, dE = k E^{-s} \, dE$$

Mettendo insieme questo con $\nu_c \propto E^2 B$ si arriva a:

$$I_{syn} \propto \nu^{-\alpha}, \qquad \alpha = \frac{s-1}{2}$$

$s$ $\quad$ indice della distribuzione in energia degli elettroni

$\alpha$ $\quad$ indice spettrale: ~0.5 per i resti di supernova, 0.5-2 per le radiosorgenti estese

6.2 Come si riconosce a occhio

Va disegnato in log-log. Una legge di potenza in log-log diventa una retta, di pendenza
$-\alpha$.

E' il modo per distinguerlo al volo da un continuo termico, che in log-log non e' una retta.

Nota: il sincrotrone e' non termico, e questa e' la differenza vera
con gli altri due. Free-free e free-bound nascono da elettroni con una distribuzione maxwelliana,
cioe' da un gas che ha una temperatura. Il sincrotrone nasce da elettroni accelerati da qualcos'
altro (shock, campi magnetici), che una temperatura non ce l' hanno. Per quello lo spettro ha una
forma completamente diversa.

7. In breve

Domande tattiche

1. Perche' un elettrone libero fa un continuo e uno legato fa una riga? Deve venire dalla
regola madre, in una frase. (-> sezione 1)

2. Il free-free e' liscio, il free-bound ha i gradini. Eppure in tutti e due c'e' un elettrone
libero. Da dove salta fuori la differenza? (-> sezione 4.1)

3. Ti trovi a 4000 A e ti sposti verso 3600 A. L' emissione salta su. Cosa e' successo
esattamente in quel punto? (-> sezione 4.2)

4. In una nebulosa a $10^4$ K, quale dei due continui domina nel visibile? E a che temperatura
si invertirebbe? (-> sezione 4.3)

5. Guardi uno spettro in log-log e vedi una retta. Cosa hai davanti, e perche' quella forma
esclude gli altri due processi? (-> sezioni 6.1 e 6.2)

6. Il continuo a due fotoni si vede nelle nebulose e non in laboratorio. La ragione e' la
stessa di un altro capitolo: quale, e perche'? (-> sezione 5, e
capitolo 5.7)

7. Perche' il nucleo dell' atomo non contribuisce quasi per niente all' emissione? Il conto e'
di una riga. (-> sezione 1.1)

torna su

7 - Sezione d' urto ed equilibrio di ionizzazione

Dispensa: cap. 7 (pag. 93-98).

Prima meta' a mattoncini (la sezione d' urto e' uno strumento, e va costruito prima di
usarlo), seconda meta' in PODS: si scrive il bilancio completo e poi si butta via meta'
dei termini, ma spiegando ogni volta perche' si puo' fare.

Questo capitolo risponde alla domanda:

in una nebulosa, quanto idrogeno e' ionizzato e quanto e' ancora neutro?

Nel capitolo 2 la risposta la dava Saha. Qui Saha non si puo' usare,
perche' vale in equilibrio termodinamico e in una nebulosa non ci siamo. Il bilancio va fatto a
mano, come nel capitolo 5.

Ma prima serve uno strumento.

1. La sezione d' urto: cos'e'

La sezione d' urto $\sigma$ e' l' area efficace del bersaglio: quanto e' probabile che
l' interazione avvenga, tradotta in centimetri quadri.

L' immagine da tenere: io fotone (o io elettrone) arrivo addosso a una nube. Ogni bersaglio si
porta dietro un dischetto di area $\sigma$. Se ci finisco dentro succede qualcosa, se ci passo
di fianco tiro dritto.

SIGNIFICATO FISICO: $\sigma$ si misura in cm$^2$ ma non e' la taglia geometrica
dell' atomo. E' quanto quell' atomo e' "grosso" per quel processo li'. Lo stesso atomo ha
$\sigma$ diverse per processi diversi, e per la fotoionizzazione cambia anche con l' energia del
fotone che arriva.

1.1 Un caso in cui coincide davvero con l' area

Per gli urti fra atomi di idrogeno neutri nel fondamentale si prende proprio il disco di Bohr:

$$\sigma = \pi a_B^2 \simeq 0.88 \times 10^{-16} \; \text{cm}^2$$

$a_B$ $\quad$ raggio di Bohr, $0.53 \times 10^{-8}$ cm

Qui $\sigma$ e' davvero l' area dell' atomo, ma e' un caso particolare: sono due palline che si
urtano. Negli altri casi non e' cosi'.

2. Primo uso della sezione d' urto: opacita'

Se ho $N$ bersagli per cm$^3$ e ognuno mi offre $\sigma$ di area, in un centimetro di cammino
intercetto:

$$k = N \sigma \qquad [\text{cm}^{-1}]$$

ed e' proprio il coefficiente di assorbimento del capitolo 3. Su uno spessore
$L$:

$$\tau = N \sigma L$$

Da cui una lettura molto utile:

$$\tau = 1 \quad \Leftrightarrow \quad L = \frac{1}{N\sigma}$$

$\tau = 1$ vuol dire un' interazione a testa, e $1/(N\sigma)$ e' il libero cammino medio:
la distanza dopo la quale il fotone medio e' stato mangiato.

3. Secondo uso: rate collisionali

Nelle collisioni il bersaglio non sta fermo: ci arrivo addosso a velocita' $v$, e le velocita' sono
maxwelliane. Quindi non basta $\sigma$, serve la media del prodotto:

$$Q = \langle \sigma v \rangle = \int_0^\infty v \, \sigma(v) \, f(v) \, dv \qquad [\text{cm}^3 \text{s}^{-1}]$$

Nota subito così de botto: le unita' lo spiegano da sole. cm$^2$ per cm/s fa cm$^3$/s, cioe'
il volume che il mio dischetto spazza in un secondo. Moltiplicato per la densita' dei partner
da' il numero di urti al secondo: $C = N Q$ in s$^{-1}$.

Questo $Q$ e' esattamente quello che entra nell' atomo a due livelli del
capitolo 5 e nella densita' critica $N_c = A_{21}/Q_{21}$.

Per la diseccitazione collisionale la dispensa arriva a:

$$Q_{nm} = \frac{8.63 \times 10^{-6}}{\sqrt{T_e}} \frac{\langle \Omega(m,n) \rangle}{g_n}$$

$\Omega$ $\quad$ collision strength

Nota che $Q$ dipende solo da $T_e$ (va come $T_e^{-1/2}$): la densita' entra dopo, nel rate.

3.1 Quanto sono rari gli urti, in numeri

Vale la pena vederlo, perche' e' il numero che giustifica tutto il capitolo 5.

Con $T_e = 10^4$ K viene $Q \simeq 10^{-7}$ cm$^3$ s$^{-1}$, e con $N_e = 10^3$ cm$^{-3}$ il rate e'
$C = N_e Q \simeq 10^{-4}$ s$^{-1}$:

una diseccitazione collisionale ogni 2.8 ore.

Con gli atomi neutri nel mezzo interstellare diffuso si scende a un urto ogni 3170 anni.

Adesso e' chiaro perche' una riga proibita, che ci mette secondi o minuti a uscire, fa comodamente
in tempo.

4. Terzo uso: la fotoionizzazione

Qui $\sigma$ dipende dall' energia del fotone:

$$\sigma_{bf} \simeq 2.81 \times 10^{29} \frac{Z^4}{n^5 \nu^3} \qquad [\text{cm}^2]$$

$Z$ $\quad$ carica nucleare efficace

$n$ $\quad$ livello di partenza dell' elettrone

$\nu$ $\quad$ frequenza del fotone

Per l' idrogeno dal fondamentale, alla soglia di 13.6 eV, il valore tabulato e':

$$\sigma \simeq 6.3 \times 10^{-18} \; \text{cm}^2$$

cioe' una quindicina di volte sotto l' area geometrica dell' atomo.

4.1 La dipendenza che conta: $\nu^{-3}$

$$\sigma \propto \nu^{-3}$$

Cala in fretta appena il fotone diventa piu' energetico. Conseguenza fisica diretta:

Nota subito così de botto: questo e' controintuitivo la prima volta. Verrebbe da pensare che
un fotone piu' energetico ionizzi meglio. Invece no: passa oltre. Ionizzare bene vuol dire avere
l' energia giusta, non tantissima.

5. L' equilibrio di ionizzazione: l' equazione generale

Si scrive che tutto quello che ionizza pareggia tutto quello che ricombina:

$$N_i R_{i,i+1} + N_i C_{i,i+1} = N_{i+1} R_{i+1,i} + N_{i+1} C_{i+1,i}$$

$R_{i,i+1}$ $\quad$ rate di fotoionizzazioni (s$^{-1}$)

$C_{i,i+1}$ $\quad$ rate di ionizzazioni collisionali

$R_{i+1,i}$ $\quad$ rate di ricombinazioni

$C_{i+1,i}$ $\quad$ rate di ricombinazioni collisionali

Quattro termini. Adesso se ne buttano via due, e i motivi sono interessanti.

5.1 Via le ricombinazioni collisionali

$C_{i+1,i}$ e' un processo a tre corpi: servono uno ione, un elettrone che ricombina, e un
terzo corpo che si porti via l' energia in eccesso.

Far incontrare tre cose nello stesso posto richiede densita' alta. In una nebulosa non succede
mai. Si butta.

5.2 Via le ionizzazioni collisionali

Per ionizzare l' idrogeno per urto servono elettroni da 13.6 eV. Facendo il conto con la
maxwelliana, la frazione utile e':

$T_e$ $k_B T_e$ quanto pesa
$10^4$ K 0.86 eV $2 \times 10^{-6}$
$2 \times 10^4$ K 1.72 eV $4 \times 10^{-3}$
$4 \times 10^4$ K 3.44 eV 0.17
$10^5$ K 8.61 eV 1.56

Serve $T_e > 10^5$ K perche' la ionizzazione collisionale conti qualcosa. Le nebulose stanno a
$10^4$ K, dieci volte sotto. Si butta anche questa.

Attenzione: guarda quanto e' brusca quella colonna: da $10^4$ a $10^5$ K
cambia di sei ordini di grandezza. E' la firma dell' esponenziale: quando devi raggiungere
un' energia molto sopra $k_BT$, non ci arrivi "un po'", non ci arrivi per niente.

(Un contributo residuo lo danno i raggi cosmici, particelle da 0.3-100 MeV che ionizzano per
urto: $C_{0,1} \sim 10^{-17}$ s$^{-1}$. Piccolo, ma non zero.)

5.3 Quello che resta

$$N_0 R_{0,1} = N_1 R_{1,0}$$

le fotoionizzazioni pareggiano le ricombinazioni.

Cioe': in una nebulosa si ionizza con la luce e si ricombina con gli elettroni. E' tutto qui.

6. Il rate di fotoionizzazione

$$N_0 R_{0,1} = 4\pi \int_{\nu_0}^{\infty} \frac{k_{bf}}{h\nu} I_\nu \, d\nu$$

Si integra da $\nu_0$ in su, la soglia a 13.6 eV: sotto quella frequenza i fotoni non ionizzano
e non contano.

Nel conto entrano due cose:

  1. $\sigma_{bf} \propto \nu^{-3}$, la sezione d' urto della parte A
  2. il campo di radiazione della stella, fortemente diluito

6.1 Il fattore di diluizione

Questo e' il pezzo che spiega perche' le nebulose sono quello che sono.

La stella emette come un corpo nero alla sua temperatura, ma la nebulosa e' lontana. Il campo
di radiazione che arriva li' e' lo stesso come forma (stessa distribuzione in frequenza), ma
ridotto in intensita' di un fattore geometrico:

$$w \sim 10^{-15}$$

Sono quindici ordini di grandezza.

Occhio a questo: ecco l' origine di tutto il comportamento non-LTE delle nebulose.
Il gas "vede" una radiazione che ha la forma di un corpo nero a $4 \times 10^4$ K ma
l' intensita' di quasi niente. Quindi non puo' termalizzarsi con quella radiazione, e le
popolazioni dei livelli non hanno nessun motivo di seguire Boltzmann. E' la stessa diluizione che
nel capitolo 5 permetteva di buttare via il termine radiativo
$U B_{12}$.

Il risultato del conto, per una stella a $4 \times 10^4$ K:

$$R_{0,1} \sim 10^{-8} \; \text{s}^{-1}$$

Cioe' un atomo neutro viene fotoionizzato mediamente una volta ogni tre anni.

7. Il rate di ricombinazione

$$R_{1,0} = N_e \alpha, \qquad \alpha = \sum_{n=1}^{\infty} \alpha_n$$

$\alpha_n$ $\quad$ coefficiente di ricombinazione sul livello $n$, in cm$^3$ s$^{-1}$

La somma su tutti gli $n$ c'e' perche' l' elettrone puo' essere catturato su qualsiasi livello.

Ogni $\alpha_n$ si ottiene mediando la sezione d' urto di ricombinazione sulla maxwelliana, ed e' lo
stesso oggetto che nel capitolo 5.5 alimentava la cascata.

L' andamento:

$$\alpha_n \propto \frac{1}{T_e^{3/2} \, n^3}$$

Cala con la temperatura: un elettrone veloce fa piu' fatica a farsi catturare, sfreccia via.

Cala come $1/n^3$: le catture sui livelli bassi sono le piu' probabili.

7.1 Ricombinano gli elettroni lenti

La sezione d' urto di ricombinazione va come $1/v^2$: ricombinano preferenzialmente gli elettroni
lenti, mentre la fotoionizzazione ne libera di veloci.

Conseguenza che serve nel capitolo 9: anche in equilibrio perfetto,
con tante ionizzazioni quante ricombinazioni, il bilancio energetico netto e' un riscaldamento
del gas. Entrano elettroni veloci ed escono elettroni lenti, e la differenza resta nel gas.

8. Il risultato

Mettendo insieme:

$$N_0 R_{0,1} = N_1 N_e \alpha \qquad \rightarrow \qquad \frac{N_1}{N_0} = \frac{R_{0,1}}{N_e \alpha}$$

Coi numeri di una nebulosa tipica, quel rapporto viene enorme: l' idrogeno e' ionizzato al
99.99% e passa. La frazione neutra e' una minuzia.

E il motivo, guardando i due rate, e' che $R_{0,1}$ ha davanti tutta la luce della stella mentre
$N_e \alpha$ e' frenato dalla densita' ridicola del gas.

8.1 Il collegamento col capitolo dopo

Questo conto e' stato fatto in un punto, assumendo di sapere quanti fotoni ionizzanti ci sono
li'.

Ma i fotoni ionizzanti si consumano: piu' vai lontano dalla stella, meno ne restano. Quindi la
domanda vera diventa: fino a dove arriva la zona ionizzata?

Quella e' la sfera di Stromgren, capitolo 8.

9. In breve

Sezione d' urto:

Equilibrio di ionizzazione:

Domande tattiche

1. Un fotone da 100 eV ionizza l' idrogeno "meglio" di uno da 14 eV? Attenzione, la risposta
non e' quella che viene istintiva. (-> sezione 4.1)

2. $\sigma$ si misura in cm$^2$. Vuol dire che e' la dimensione dell' atomo? (-> sezione 1)

3. Perche' in una nebulosa si butta via la ionizzazione collisionale, ma non in un gas molto
piu' caldo? Usa i numeri della tabella. (-> sezione 5.2)

4. La ricombinazione a tre corpi si trascura sempre in nebulosa. Il motivo non e' la
temperatura: qual e'? (-> sezione 5.1)

5. Il campo di radiazione della stella arriva alla nebulosa diluito di $10^{-15}$. Quali
conseguenze ha, in almeno due punti diversi del corso? (-> sezione 6.1, e
capitolo 5)

6. Ricombinano preferenzialmente gli elettroni lenti. Cosa comporta questo sul bilancio
energetico del gas, anche quando ionizzazioni e ricombinazioni si pareggiano esattamente?
(-> sezione 7.1)

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8 - La sfera di Stromgren

Dispensa: cap. 8 (pag. 99-110).

Capitolo a mattoncini: si costruisce l' equazione un pezzo per volta, e poi si legge il
risultato negli andamenti. Il bordo, alla fine, e' il pezzo che sorprende di piu'.

Nel capitolo 7 si e' fatto il bilancio fra ionizzazioni e ricombinazioni
in un punto. Adesso si guarda tutta la nube insieme e ci si fa la domanda geometrica:

una stella calda dentro una nube di idrogeno. Fin dove arriva la zona ionizzata?

1. Il quadro

Una stella molto calda, tipo una O o una B, immersa in una nube di idrogeno.

Il raggio della stella e' milioni di volte piu' piccolo di quello della nube, quindi per questo
conto la stella e' un punto che sputa fotoni ionizzanti in tutte le direzioni.

L' idea di Stromgren e' che si arrivi a una situazione stazionaria: c'e' una regione ionizzata
attorno alla stella, e la sua dimensione e' fissata da un equilibrio.

2. Il ragionamento

Bisogna partire da una cosa: un atomo per restare ionizzato ha bisogno di essere continuamente
ri-ionizzato, perche' altrimenti prima o poi ricattura un elettrone.

Quindi non si contano atomi, si contano tassi: quante ionizzazioni al secondo e quante
ricombinazioni al secondo.

$$(\text{fotoni ionizzanti emessi dalla stella al secondo}) = (\text{ricombinazioni al secondo in tutta la sfera})$$

Il raggio $R_S$ e' quello per cui i due numeri si pareggiano: dentro quel raggio la stella ce la fa
a tenere tutto ionizzato, fuori non ce la fa piu'.

3. Il lato sinistro

Il tasso di emissione di fotoni ionizzanti (energia sopra 13.6 eV) della stella si chiama $Q$ e si
prende cosi' com'e', in fotoni al secondo. E' un dato della stella.

4. Il lato destro

Si costruisce a partire da un pezzo gia' visto nel capitolo 5.5: le
ricombinazioni dirette sul livello $n$ sono

$$N_e N_p \alpha_n$$

Ma qui interessano le ricombinazioni su tutti i livelli, quindi si somma:

$$\sum_n N_e N_p \alpha_n = N_e N_p \sum_n \alpha_n$$

E questo e' il numero di ricombinazioni al secondo per cm$^3$. Per avere quelle di tutta la
sfera basta moltiplicare per il volume:

$$\frac{4}{3}\pi R^3 N_e N_p \sum_n \alpha_n$$

5. L'approssimazione "on the spot"

Adesso c'e' un passaggio che sembra un dettaglio tecnico ma non lo e'.

Vediamo cosa succede quando un elettrone ricombina finendo direttamente sul fondamentale
($n=1$): l' elettrone cade da libero fino a $-13.6$ eV, quindi emette un fotone da 13.6 eV, che
e' esattamente un fotone ionizzante.

Quel fotone viene subito riassorbito li' vicino e ionizza un altro atomo. Quindi:

$$13.6 \, eV + \text{neutro} \rightarrow \text{ionizzato} \rightarrow \text{neutro} + 13.6 \, eV$$

Il conto si pareggia: quella ricombinazione ha prodotto il fotone che serve a rifare la
ionizzazione che ha appena annullato. Netto: zero.

Quindi le ricombinazioni su $n=1$ non vanno contate, e la somma parte da $n=2$:

$$\alpha_B = \sum_{n \geq 2} \alpha_n$$

Questo si chiama on the spot approximation (il "sul posto" e' perche' si assume che quel fotone
venga riassorbito subito li', senza viaggiare).

Vale la pena dirlo: $\alpha_B$ si chiama caso B, e $\alpha_A$ (con dentro anche
$n=1$) e' il caso A. E' la stessa distinzione che c'e' dietro il valore 2.86 del decremento di
Balmer nel capitolo 5.5: anche li' si assume caso B. Nelle nebulose si usa
sempre il caso B, perche' i fotoni di Lyman non escono mai vivi.

6. La formula

$$Q = \frac{4}{3} \pi R_S^3 \, N_e N_p \, \alpha_B$$

e isolando il raggio:

$$R_S = \left( \frac{3 Q}{4\pi N_e N_p \alpha_B} \right)^{1/3}$$

Attenzione: la radice e' cubica, non quadrata. Viene dal volume della sfera, che va come
$R^3$.

6.1 Come si legge

Dipendenza da $Q$: debolissima.

$$R_S \propto Q^{1/3}$$

Se la stella emette mille volte piu' fotoni ionizzanti, il raggio cresce solo di dieci
volte. Ed e' ovvio a pensarci: il volume va come il cubo, quindi per raddoppiare il raggio serve
otto volte piu' roba.

Dipendenza dalla densita': piu' forte.

Assumendo $N_e \approx N_p = N$ (idrogeno puro completamente ionizzato):

$$R_S \propto N^{-2/3}$$

L' esponente e' $2/3$ e non $1/3$ perche' la densita' nella formula compare due volte: una per
gli elettroni e una per i protoni. Piu' e' densa la nube, piu' la sfera e' piccola: la stella
consuma i suoi fotoni piu' in fretta.

7. Il bordo

E qui c'e' la cosa che sorprende di piu'.

Verrebbe da pensare che la ionizzazione sfumi piano piano allontanandosi dalla stella. Invece no:
crolla di colpo.

quanto
raggio tipico della sfera 1 - 100 pc
spessore del bordo ~0.005 pc

Il bordo e' quattro ordini di grandezza piu' sottile del raggio. Su scala della nebulosa e'
praticamente una superficie.

7.1 Perché è così netto: il conto

Lo spessore del bordo e' la distanza in cui $\tau$ passa da 0 a 1, ed e' il libero cammino medio
della capitolo 7:

$$L = \frac{1}{N \sigma} = \frac{1}{10 \times 6.3 \times 10^{-18}} \simeq 1.6 \times 10^{16} \; \text{cm} \simeq 0.005 \; pc$$

con $N = 10$ cm$^{-3}$ di idrogeno neutro e $\sigma = 6.3 \times 10^{-18}$ cm$^2$ (la sezione
d' urto per fotoni da 13.6 eV).

E piu' la nube e' densa, piu' il bordo e' sottile: a $N = 10^3$ cm$^{-3}$ viene $10^{-4}$ pc, cioe'
paragonabile al sistema solare.

7.2 Perché è così netto: il meccanismo

Il conto dice quanto e' spesso, ma il motivo per cui e' un crollo e non una sfumatura e' un
effetto a valanga:

$$\text{piu' idrogeno neutro} \rightarrow \text{piu' assorbimento} \rightarrow \text{meno fotoni sopravvivono} \rightarrow \text{piu' idrogeno neutro}$$

E' un anello che si rinforza da solo. Appena la ionizzazione comincia a calare, cala sempre piu' in
fretta.

Questa e' la parte che conta: un piccolo avvertimento. Tutto questo dipende dalla forma del
continuo ionizzante: se la stella produce tanti fotoni molto energetici, quelli vedono $\sigma$
piccola (va come $\nu^{-3}$) e viaggiano molto piu' lontano, quindi il bordo si ammorbidisce.

8. Ionization bounded e matter bounded

Due situazioni completamente diverse, e conviene saperle distinguere.

Ionization bounded: e' il caso descritto finora. C'e' idrogeno in abbondanza, e a finire sono
i fotoni. Il raggio e' quello di Stromgren e la formula vale.

Matter bounded: la nube e' piu' piccola della sfera di Stromgren che le competerebbe. A finire
e' la materia: la stella avrebbe ancora fotoni da spendere, ma non c'e' piu' niente da
ionizzare, e quei fotoni escono nello spazio.

nel caso matter bounded la formula di $R_S$ non si applica: il raggio della zona ionizzata e'
semplicemente il raggio della nube.

Il modo di distinguerli osservativamente: in una nebulosa matter bounded non si vede la buccia di
gas neutro attorno, e la radiazione ionizzante scappa fuori.

9. Stratificazione della ionizzazione

Attorno alla stella non c'e' solo idrogeno: c'e' anche elio, e ci sono i metalli. E ogni specie ha
la sua soglia:

specie soglia
H I 13.6 eV
He I 24.6 eV
He II 54.4 eV

Ognuna ha quindi la sua sfera di Stromgren, e le sfere sono concentriche: la zona He III
sta dentro la zona He II, che sta dentro la zona H II.

9.1 Perché le sfere hanno raggi diversi

Questo e' il punto da capire bene, perche' e' facile dare la risposta sbagliata.

Guardando la formula, verrebbe da pensare che cambi $\alpha_B$. Ma il motivo vero e' un altro:
cambia $Q$.

$Q$ e' il numero di fotoni sopra la soglia. La stella emette come un corpo nero, quindi il suo
spettro cala esponenzialmente sulla coda di Wien: piu' alzi la soglia, meno fotoni trovi sopra.

Meno fotoni disponibili -> sfera piu' piccola.

Attenzione al verso: salendo in energia ci sono meno fotoni. Non "salendo in
temperatura": alzando la temperatura della stella i fotoni energetici aumentano. La coda di
Planck si legge lungo l' asse dell' energia a temperatura fissata.

9.2 A cosa serve saperlo

La stratificazione e' osservabile: guardando una nebulosa si vedono le righe di ioni diversi in
zone diverse, e piu' lo ione e' "alto" piu' sta vicino alla stella.

Da come sono messe quelle zone si risale alla temperatura della stella che le illumina, anche
senza vederla bene.

10. In breve

Domande tattiche

1. Prendi una stella e mettici attorno una nube dieci volte piu' densa. Il raggio di Stromgren
di quanto cambia? Attento all' esponente, e sappi dire da dove viene. (-> sezione 6.1)

2. Perche' nella somma delle ricombinazioni si parte da $n=2$ e non da $n=1$? Racconta cosa
succede a quel fotone. (-> sezione 5)

3. Il raggio della sfera e' di 10 pc e il bordo e' spesso 0.005 pc. Come mai cosi' netto? Ci
sono due risposte, una col conto e una col meccanismo: dille tutte e due. (-> sezioni 7.1 e 7.2)

4. Ti dicono che una certa nebulosa e' matter bounded. Puoi ancora usare la formula di $R_S$?
E cosa ti aspetti di vedere attorno? (-> sezione 8)

5. La sfera di He III e' piu' piccola di quella di H II. Verrebbe da dire che e' perche' l' elio
ricombina diversamente. Perche' e' la risposta sbagliata, e qual e' quella giusta? (-> sezione 9.1)

6. Se una stella emette mille volte piu' fotoni ionizzanti, il raggio cresce solo di dieci
volte. Perche' cosi' poco? La risposta e' geometrica. (-> sezione 6.1)

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9 - Equilibrio termico: chi scalda e chi raffredda

Dispensa: cap. 9 (pag. 111 e seguenti).

Capitolo in PODS: si parte da una domanda che sembra ingenua (perche' non si scalda
all' infinito?) e si finisce con un grafico che spiega tutto il corso.

Ultimo capitolo, e chiude un cerchio. Per tutto il corso si e' detto "una nebulosa sta a $10^4$ K"
e lo si e' usato per fare i conti. Adesso si spiega perche' ci sta.

La domanda e':

la stella pompa energia nella nebulosa in continuazione. Perche' allora non si scalda
all' infinito?

1. L'equazione

Perche' due processi opposti si pareggiano:

$$\Gamma = \Lambda$$

$\Gamma$ $\quad$ tasso di riscaldamento: energia data al gas per unita' di volume e di tempo,
in erg cm$^{-3}$ s$^{-1}$

$\Lambda$ $\quad$ tasso di raffreddamento, stesse unita'

La temperatura si assesta al valore in cui i due si eguagliano. Ed e' il motivo per cui tutte
le nebulose fotoionizzate stanno intorno a $10^4$ K, indipendentemente da quanto e' grande la
stella che le illumina.

2. Chi scalda: la fotoionizzazione

Il capo assoluto e' la fotoionizzazione, ed e' facile da capire.

Arriva un fotone stellare con energia sopra la soglia, diciamo 20 eV. Ne spende 13.6 per strappare
l' elettrone, e i 6.4 eV che avanzano se li porta via l' elettrone come energia cinetica.

Quell' elettrone poi sfreccia in giro, urta gli altri, e distribuisce l' energia a tutto il gas.
Il gas si scalda.

$$\bar{E}_e = \frac{\int_{\nu_0}^{\infty} h(\nu - \nu_0) \frac{k_\nu I_\nu}{h\nu} d\nu}{\int_{\nu_0}^{\infty} \frac{k_\nu I_\nu}{h\nu} d\nu}$$

$\bar{E}_e$ $\quad$ energia cinetica media del singolo elettrone liberato

$h(\nu - \nu_0)$ $\quad$ l' energia in eccesso sulla soglia, quella che finisce all' elettrone

$\frac{k_\nu I_\nu}{h\nu}$ $\quad$ il numero di fotoionizzazioni per unita' di volume e di tempo

Cioe': e' la media dell' energia in eccesso, pesata su quante fotoionizzazioni avvengono a ogni
frequenza.

2.1 La cosa importante di questa formula

Guarda cosa c'e' sopra e sotto: $I_\nu$ compare in tutti e due, e si semplifica.

$\bar{E}_e$ dipende dallo spettro della stella, non dalla sua intensita'.

Vuol dire che una stella lontana o vicina scalda gli elettroni allo stesso modo: cambia quanti
ne libera, non quanto energetici sono. Quello che conta e' la temperatura della stella, che
decide la forma dello spettro.

Vicino alla stella, con l' approssimazione di Wien, viene:

$$\bar{E}_e = \psi_0 k_B T$$

con $\psi_0$ dell' ordine di 1 (e $T$ e' la temperatura della stella, non del gas).

2.2 Un effetto di indurimento

Siccome $k_\nu \propto \nu^{-3}$ (vedi la capitolo 7), i fotoni
piu' energetici attraversano la nube senza essere assorbiti, mentre quelli appena sopra soglia
vengono mangiati subito.

Conseguenza: piu' ci si allontana dalla stella, piu' gli elettroni liberati escono energetici,
perche' li' arrivano solo i fotoni duri.

2.3 Il bilancio netto

Il riscaldamento vero non e' tutta l' energia che entra: bisogna togliere quella che se ne va con le
ricombinazioni, perche' l' elettrone catturato si porta via la sua energia cinetica.

$$\Gamma_{ph} = N_1 N_e \left[ \alpha_0 \bar{E}_e - \frac{1}{2} m_e \langle \sigma_{fb} v^3 \rangle \right]$$

Il primo pezzo e' quello che entra, il secondo quello che esce.

E qui torna il risultato del capitolo 7: $\sigma_{fb}$ cala al crescere
di $v$, quindi a farsi catturare sono soprattutto gli elettroni lenti. Entrano elettroni
veloci ed escono elettroni lenti: il bilancio e' positivo, il gas si scalda.

2.4 Gli altri canali (minori)

3. Chi raffredda: le righe proibite dei metalli

E qui si capisce perche' il capitolo 5.7 era cosi' importante.

Il meccanismo, in tre passi:

  1. un elettrone libero urta uno ione dei metalli (O, N, S) e lo porta su un livello
    metastabile poco sopra il fondamentale. Quell' urto toglie energia cinetica al gas.
  2. lo ione decade ed emette un fotone.
  3. la nebulosa e' otticamente sottile a quella riga, quindi il fotone se ne va portandosi
    dietro l' energia.

Netto: quell' energia il gas non se la riprende piu'.

3.1 Perché sono i metalli e non l'idrogeno

Questa e' la domanda giusta da farsi, e la risposta e' un confronto fra due numeri.

A $10^4$ K gli elettroni hanno $k_B T_e = 0.86$ eV.

specie primo livello raggiungibile ci arrivano?
idrogeno 10.2 eV no, mai
[O III], [N II], [S II] 2-5 eV si'

L' idrogeno e' fuori portata: per eccitarlo servirebbero elettroni dodici volte piu' energetici
della media, e la coda della maxwelliana non ne fornisce abbastanza.

I metalli invece hanno i livelli metastabili a pochi eV, per il motivo visto nel
capitolo 5.7 (stessa configurazione elettronica del fondamentale).

Nota subito così de botto: fa una certa impressione. I metalli sono una traccia, tipo un
atomo su diecimila. Eppure sono loro a fissare la temperatura di tutta la nebulosa, perche' sono
gli unici che gli elettroni riescono a eccitare. La roba che c'e' in abbondanza non serve a niente
se sta troppo in alto.

3.2 La formula

$$\Lambda_{coll} = N_e \sum_m (E_m - E_1)(N_{i1} Q_{1m} - N_{im} Q_{m1})$$

$(E_m - E_1)$ $\quad$ l' energia del salto fondamentale -> metastabile

$N_{i1} Q_{1m}$ $\quad$ le eccitazioni: energia tolta al gas

$N_{im} Q_{m1}$ $\quad$ le diseccitazioni collisionali: energia restituita al gas

Il secondo termine e' quello che rovina tutto quando la densita' e' alta. Se ne parla fra due
paragrafi.

Per [O III] 5007, mettendo dentro i numeri:

$$\Lambda \simeq 1.57 \times 10^{-21} N_e N_p \frac{e^{-2.877 \times 10^4 / T_e}}{\sqrt{T_e}}$$

Il pezzo che conta e' quell' esponenziale. $2.877 \times 10^4$ K e' $\Delta E / k_B$ della riga
5007. Il raffreddamento e' spento a bassa temperatura e si accende di colpo quando $T_e$ si
avvicina a quella soglia.

3.3 Gli altri canali di raffreddamento

Free-free (bremsstrahlung, vedi capitolo 6):

$$\Lambda_{ff} \propto N_e N_p \sqrt{T_e}$$

Va come $\sqrt{T_e}$, quindi cresce piano, senza soglie e senza esponenziali. E' il
raffreddamento dominante in una nebulosa di solo idrogeno, dove non ci sono metalli.

Ricombinazione: l' elettrone catturato si porta via la sua energia cinetica. E' gia' contato
dentro $\Gamma_{ph}$ col segno meno.

Collisioni con i grani di polvere.

4. Il termostato

Adesso il pezzo che spiega tutto, ed e' un grafico da saper disegnare.

Si mettono in scala logaritmica i due tassi (normalizzati per $N_e N_p$) in funzione di $T_e$:

sull' asse X: $T_e$, la temperatura degli elettroni del gas

sull' asse Y: i tassi $\Gamma$ e $\Lambda$

E le due curve hanno forme molto diverse:

Dove le due curve si incrociano c'e' la temperatura di equilibrio.

4.1 Perché è un termostato vero

Guarda cosa succede se ci si sposta dall' incrocio:

E' un equilibrio stabile, e si autoregola. Per questo tutte le nebulose con metalli finiscono
intorno a $10^4$ K.

4.2 Una nebulosa di solo idrogeno

Caso limite da tenersi in tasca, perche' fa vedere quanto contano i metalli.

Senza metalli non c'e' il raffreddamento collisionale: resta solo il free-free, che va come
$\sqrt{T_e}$ ed e' molto meno efficiente.

La curva di $\Lambda$ e' molto piu' bassa e molto meno ripida, quindi l' incrocio si sposta a
temperature nettamente piu' alte.

Detto altrimenti: sono i metalli a tenere fredde le nebulose.

5. Il legame col quenching

Torna il capitolo 5, e stavolta con una conseguenza grossa.

la riga raffredda solo se il fotone esce.

Se la densita' supera $N_c$, lo ione eccitato viene spento da un secondo urto prima di riuscire
a emettere: l' energia torna all' elettrone che lo ha urtato e resta dentro il gas.

Quindi: sopra la densita' critica, quel canale di raffreddamento si spegne, e la temperatura di
equilibrio sale.

E' il termine $N_{im} Q_{m1}$ della formula al punto 3.2: sotto $N_c$ e' trascurabile, sopra $N_c$
cresce fino a cancellare quasi del tutto il primo pezzo.

6. E se la stella si spegne di colpo?

Domanda che chiude bene il corso, perche' obbliga a usare tutto quello che si e' visto.

Succede questo: la nebulosa si raffredda, tutto ricombina, righe e continuo spariscono, e nel
visibile non la vedi piu' (ma e' ancora li': va cercata a lunghezze d' onda maggiori).

Quanto ci mette? Si divide l' energia termica che c'e' da smaltire per il tasso a cui la si smaltisce:

$$t_c = \frac{\frac{3}{2} k_B T N_p}{\Lambda}$$

Coi numeri di una nebulosa a $10^4$ K:

$$t_c \sim \frac{10^{12}}{N_p} \; \text{s}$$

Con $N_p = 10^2$ cm$^{-3}$: circa 300 anni. In una nebulosa di solo idrogeno, dove raffredda
solo il free-free, ci mette circa dieci volte tanto.

6.1 Il tempo di ricombinazione

L' altro tempo caratteristico e':

$$t_r = \frac{1}{N_e \alpha_0}$$

Con gli stessi numeri viene circa 800 anni.

In pratica: tutti e due i tempi vanno come $1/N$. Quindi piu' e' densa la
nebulosa, piu' in fretta si spegne. E' lo stesso motivo di sempre: le cose succedono per
incontri, e in un gas denso ci si incontra piu' spesso.

7. In breve

Domande tattiche

1. Una nebulosa viene scaldata in continuazione dalla stella. Perche' non arriva a un milione
di gradi? (-> sezioni 1 e 4.1)

2. I metalli sono un atomo su diecimila, eppure sono loro a decidere la temperatura. Come si
spiega? Il confronto e' fra due numeri soli. (-> sezione 3.1)

3. L' energia che il fotone regala all' elettrone dipende da quanto e' vicina la stella?
(-> sezione 2.1)

4. Disegna il grafico del termostato: cosa metti sui due assi, che forma hanno le due curve, e
perche' proprio quelle forme? (-> sezione 4)

5. Prendi una nebulosa e alza la densita' sopra la densita' critica di [O III]. La temperatura
di equilibrio sale o scende? Fai il percorso completo. (-> sezione 5)

6. In una nebulosa di solo idrogeno la temperatura di equilibrio e' piu' alta o piu' bassa che
in una coi metalli? E chi raffredda, li'? (-> sezione 4.2)

7. La stella si spegne di colpo. Cosa vedi succedere, e in quanto tempo? E la nebulosa piu'
densa si spegne prima o dopo? (-> sezioni 6 e 6.1)

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